1、课时跟踪检测（二十八） 等差数列一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018徐州、连云港、宿迁质检)已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，若3，则的值为_解析：设等差数列an的首项为a1，则由3，得3，所以d4a1，所以.答案：2等差数列an中，a4a810，a106，则公差d_.解析：由a4a82a610，得a65，所以4da10a61，解得d.答案：3等差数列an的前n项之和为Sn，若a56，则S9_.解析：法一：因为S99a59654.法二：由a56，得a14d6，所以S99a1d9(a14d)9654.答案：544(2018苏州质量监测)已知数列an满足a115，且3an13an2
2、.若akak10，则正整数k_.解析：3an13an2an1anan是等差数列，则ann.因为ak1ak0，所以0，所以k0，a4a70成立的最大的自然数n_.解析：由题可得an的公差d2，a19，所以an2n11，则an是递减数列，且a50a6，a5a60，于是S990，S10100，S11110，故所求n的值为9.答案：95设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列”，则数列bn的通项公式为_解析：设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理
3、得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k.所以数列bn的通项公式为bn2n1.答案：bn2n16在等差数列an中，公差d，前100项的和S10045，则a1a3a5a99_.解析：因为S100(a1a100)45，所以a1a100，a1a99a1a100d，则a1a3a5a99(a1a99)10.答案：107在等差数列an中，a17，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为_解析：由题意，当且仅当n8时Sn有最大值，可得即解得1d.答案：8设等差数列an的前n项和为Sn
4、，Sm12，Sm0，Sm13，则正整数m的值为_解析：因为等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，所以amSmSm12，am1Sm1Sm3，数列的公差d1，amam1Sm1Sm15，即2a12m15，所以a13m.由Sm(3m)m10，解得正整数m的值为5.答案：59已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.解：(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.由Sk110，得k
5、2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)证明：由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.10(2017南京、盐城二模)已知数列an的前n项和为Sn，数列bn，cn满足(n1)bnan1，(n2)cn，其中nN*.(1)若数列an是公差为2的等差数列，求数列cn的通项公式；(2)若存在实数，使得对一切nN*，有bncn，求证：数列an是等差数列解：(1)因为数列an是公差为2的等差数列，所以ana12(n1)，a1n1.因为(n2)cn(a1n1)n2，所以cn1.(2)证明：由(n1)bna
6、n1，得n(n1)bnnan1Sn，(n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1，两式相减，并化简得an2an1(n2)bn1nbn.从而(n2)cnan1(n1)bn(n1)bn(n1)bn(bnbn1)，因此cn(bnbn1)因为对一切nN*，有bncn，所以cn(bnbn1)，故bn，cn.所以(n1)an1，(n2)(an1an2)，得(an2an1)，即an2an12，故an1an2(n2)又2a2a2a1，则an1an2(n1)所以数列an是等差数列三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018淮安高三期中)设等差数列an的前n项和为Sn.若a35，且S1，S5，S7成等差数列，则数列a
7、n的通项公式an_.解析：设等差数列an的公差为d，因为S1，S5，S7成等差数列，所以S1S72S5，则a17a121d2(5a110d)，解得d2a1，因为a35，所以a11，d2，所以an2n1.答案：2n12(2018苏州高三期中调研)已知数列an，bn满足a1，anbn1，bn1(nN*)，则b1b2b2 018_.解析：由anbn1，得an1bn11，即bn11an1，把bn11an1代入bn1，化简可得1，所以是首项为2，公差为1的等差数列，可得数列an的通项公式为an，所以数列bn的通项公式为bn，所以b1b2b2 018.答案：3(2018南京学情调研)已知数列an是公差为正
8、数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2a315，S416.(1)求数列an的通项公式(2)设数列bn满足b1a1，bn1bn.求数列bn的通项公式；是否存在正整数m，n(mn)，使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由解：(1)设数列an的公差为d，则d0.由a2a315，S416，得解得或(舍去)所以an2n1.(2)因为b1a11，bn1bn，即b2b1，b3b2，bnbn1，n2，累加得bnb1，所以bnb11.又b11也符合上式，故bn，nN*.假设存在正整数m，n(mn)，使得b2，bm，bn成等差数列，则b2bn2bm.又b2，bn，bm，所以2，即，化简得2m7.当n13，即n2时，m2(舍去)；当n19，即n8时，m3，符合题意所以存在正整数m3，n8，使得b2，bm，bn成等差数列
