1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-提能拔高限时训练 43 空间角一、选择题1.已知三棱锥的三个侧面和底面全等，且 AB=AC=3，BC=2.则以 BC 为棱，以平面 BDC 与平面 BDA 为面的二面角的大小为()A.4B.3C.2D.32解析:由已知 DA=BC，DB=DC=AB=AC.取 BC 中点 E，连结 DE、AE，则 DEBC,AEBC,AED 就是所求二面角的平面角.CE=1,DC=3,DE=2.同理 AE=2.又 DA=2，AE2+DE2=DA2.AED=90.故选 C.答案:C2.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜.记三种盖
2、法屋顶面积分别为 P1、P2、P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则()高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-A.P3P2P1B.P3P2P1C.P3P2P1D.P3P2P1解析:该题是二面角知识在实际生活中的应用，首先应明确三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都相等，又三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积均相等，由面积射影公式S 影=Scos，知屋顶面积 P1、P2、P3 均相等.答案:D3.ABCDA1B1C1D1 为正方体,点 P 在线段 A1C1 上运动,异面直线 BP 与 AD1 所成的角为,则 的范围为()A.(0,2)B.(0,2 C.(0,3)D.(0,3 解
3、析:取点 P 的极限位置,即线段 A1C1 的端点.答案:D4.直线 AB 与直二面角 l 的两个半平面分别交于 A、B 两点,且 A、Bl,如果直线 AB 与、所成的角分别是 1、2,则 1+2 的取值范围是()A.01+2B.1+2=2C.1+2 2D.01+2 2解析:过点 A 在平面 内作 ACl 交 l 于点 C,连结 BC,则 AC,ABC=2.过点 B 在 内作 BDl 交 l 于点 D,连结 AD,则 BD,BAD=1.sin1=ABBCABBD=sin(90-2)(当且仅当 C、D 重合时,等号成立),又1,90-2 均为锐角,190-2,即 1+2 2.又1+20,故 D
4、正确.答案:D5.在如图所示的正方体 A1B1C1D1ABCD 中,E 是 C1D1 的中点,则异面直线 DE 与 AC 所成角的余弦值为()高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-A.-1010B.-201C.201D.1010解析:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为 2,则 A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,2),AC=(-2,2,0),DE=(0,1,2).cos AC,DE=10105222|DEACDEAC.答案:D6.已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心，则 AB1 与
5、底面 ABC 所成角的正弦值等于()A.31B.32C.33D.32解析:如图，连结 A1B 和 AB1 交于点 O，取 OB 的中点 E，连结 OE,则 OE21 A1O,高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-OE平面 ABC.连结 AE,OAE 即为 AB1 与平面 ABC 所成的角.AO=BO,又A1A=AB,设 A1A=a,则 AO=23 a.又 AO=32 aa3323,A1O=a36.OE=a66.sinOAE=32OAEO.答案:B7.(理)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA1=1，则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值
6、为()A.36B.552C.515D.510解析:连结 A1C1 交 B1D1 于 O，则 A1C1B1D1，从而 OC1平面 BD1，所以OBC1 为 BC1 与平面 BD1 所成的角，易得 OC1=21 A1C1=2，BC1=5，所以 sinOBC1=51052.答案:D高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-5-(文)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA1=1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为()A.322B.32C.42D.31解析：显然，AA1平面 A1B1C1D1，故C1AC 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成
7、的角.易得AC=22,AC1=3,所以 sinC1AC=31.答案:D8.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD 和平面 ABC 所成的角的大小为()A.90B.60C.45D.30解析:当平面 DAC平面 ABC 时,VDABC 最大,取 AC 的中点 O,连结 DO、OB.DO平面 ABC.DBO 为 BD 与平面 ABC 所成的角.DBO=45.答案:C9.已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=4，CC1=2，则直线 BC1 和平面 DBB1D1 所成角的正弦值为()A.23B.25C.510D.1010解析
8、:连结 A1C1 交 B1D1 于点 O，则 C1O平面 DBB1D1.连结 OB,则C1BO 即为所求.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-BC1=416=20,C1O=21216162,sinC1BO=5102022.故选 C.答案:C10.正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 AB 的中点，则二面角 CA1EB 的正切值为()A.25B.5C.3D.2解析:如图所示，过点 B 作 A1E 的延长线的垂线，垂足为 M，连结 CM，由 CB平面 ABB1A1,得 CMA1E，所以CMB 就是二面角 CA1EB 的平面角，设 CB=2a,则 BM=EBsinBEM
9、=a55252 a,在 Rt CMB 中，tanCMB=BMCB=5，故应选 B.答案:B二、填空题11.如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱长为2，底面三角形的边长为 1，则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角是_.解析:如图，取 AC 的中点 D，连结 BD、C1D，由已知，得 BDAC.在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，BD平面 AC1,高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-7-DC1 为 BC1 在平面 AC1 上的射影.BC1D 即为所求角.易知 BD=23,C1B=3,sinBC1D=211BCBD.BC1D=6.答案:612.若ACB=90在平面 内
10、,PC 与 CA、CB 所成的角PCA=PCB=60,则 PC 与平面 所成的角为_.解析:作 PO 于点 O,则 CO 平分ACB,BCO=45,作 ODBC 于点 D,则 PDBC.于是 CD=PCcos60=21 PC,CO=CD2=22 PC,cosPCO=PCCO=22,即PCO=45.或由 cos60=coscos45=45(为 PC 与平面 所成的角).答案:4513.如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,过顶点 B、D、C1 作截面,则二面角 BDC1C 的大小是_.(用反三角函数值表示)解析:如图所示,过点 C 作 C1D 的垂线交 C1D 于点 E,连结 EB,则
11、 BC 是平面 C1D 的垂线,CE 是BE 在平面 CC1D1D 内的射影.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-8-由三垂线定理 BEC1D,则CEB 为二面角 BC1DC 的平面角,设正方体棱长为 1,在 BEC 中,设BEC=,BCE=90,CE=22,BE=2622 CEBC,cos=332622EBCE.=arccos 33.答案:arccos 3314.如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都相等，D 是 A1C1 的中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为_.解析:如图,作 AECD,高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-9
12、-正三棱柱 ABCA1B1C1 中，B1D平面 A1ACC1，则 B1DAE，又因为 CDDB1=D，AE平面 B1DC，则ADC 就是直线 AD 与平面 B1DC 所成的角，设正三棱柱棱长为 2，则 DC=5，AD=5，AC=2.在 ACD 中,由余弦定理,得 cosADC=53524552222CDADACCDAD,即直线 AD 与平面 B1DC 所成的角的正弦值为 54.答案:54三、解答题15.如图，在体积为 1 的直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB=90，AC=BC=1.求直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.解法一:由题意,可得体积 V=
13、CC1S ABC=CC1 21 ACBC=21 CC1=1,高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-10-AA1=CC1=2.连结 BC1.A1C1B1C1,A1C1CC1,A1C1平面 BB1C1C.A1BC1 是直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成的角.又 BC1=5221 BGCC,tanA1BC1=51111BCCA.则A1BC1=arctan 55.故直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arctan 55.解法二:由题意,可得体积 V=CC1S ABC=CC1 21 ACBC=21 CC1=1,CC1=2.如图,建立空间直角坐标系,得点 B(0,1,0
14、),C1(0,0,2),A1(1,0,2),则BA1=(-1,1,-2),平面 BB1C1C 的法向量为 n=(1,0,0).设直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成的角为,BA1与 n 的夹角为,则 cos=66|11nBAnBA,sin=|cos|=66,=arcsin 66.故直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arcsin 66.16.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形.已知 AB=3,AD=2,PA=2,PD=22,高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-11-PAB=60.(1)证明 AD平面 PAB;(2)求异面直线 PC 与 A
15、D 所成的角的大小;(3)求二面角 PBDA 的大小.解:(1)证明:如图,在 PAD 中,由题设 PA=2,AD=2,PD=22,可得 PA2+AD2=PD2,所以 ADPA.在矩形 ABCD 中,ADAB,又 PAAB=A,所以 AD平面 PAB.(2)由题设 BCAD,所以PCB(或其补角)是异面直线 PC 与 AD 所成的角.在 PAB 中,由余弦定理,得 PB=7cos222PABABPAABPA.由(1)知 AD平面 PAB,PB 平面 PAB,所以 ADPB.因而 BCPB,于是 PBC 是直角三角形,故 tanPCB=27BCPB.所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为
16、 arctan 27.(3)过点 P 作 PHAB 于点 H,过点 H 作 HEBD 于点 E,连结 PE.因为 AD平面 PAB,PH 平面 PAB,所以 ADPH.又 ADAB=A,因而 PH平面 ABCD,故 HE 为 PE 在平面 ABCD 内的射影,由三垂线定理可知 BDPE,从而PEH 是二面角 PBDA 的平面角.由题设可得PH=PAsin60=3,AH=PAcos60=1,BH=AB-AH=2,BD=22ADAB=13,HE=BDAD BH=134,于 是 在Rt PHE 中，tanPEH=439HEPH,所以二面角 PBDA 的大小为 arctan439.教学参考例题志鸿优化
17、系列丛书【例 1】如图,PA平面 ABC,ACB=90且 PA=AC=BC=a,则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-12-值等于_.解:方法一:构造正方体如下图,PBD 即为所求.在 Rt PBD 中,tanPBD=2BDPD.方法二:过 B 作 BDAC,连结 PD,PBD 即为所求,易证 BDPD,在 Rt BDP 中,tanPBD=2DBPD(或用余弦定理).答案：2【例 2】矩形 ABCD 中,AB=6,BC=32,沿对角线 BD 将三角形 ABD 向上折起,使点 A 移动到点 P,且点 P 在平面 BCD 上的射影在 DC 上(
18、如图).(1)求证:PDPC;(2)求二面角 PDBC 的大小;(3)求直线 CD 与平面 PBD 所成角的大小.(1)证明:四边形 ABCD 为矩形,BCCD,DAAB.A 点移动到了 P 点,PDPB.又P 点在平面 BCD 上的射影在 CD 上,过 P 点作 PFCD,则 PF平面 BCD.于是 BC平面 PCD,BCPD.PD平面 PBC,得 PDPC.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-13-(2)解:由 PF平面 BCD,过点 F 作 EFBD,连结 PE,故PEF 为二面角 PBDC 的平面角.PDPC,则 CPD 为直角三角形,由 PD=32,CD=6,得 PC
19、=62.PF=22.又在 Rt DPB 中,PD=32,PB=6,BD=34,PE=3.于是 sinPEF=322,故PEF=arcsin322.(3)解:过 F 点作 FGPE;由(2)可知,FG平面 PDB,连结 GD,GDF 为直线 CD 与平面 PDB 所成的角.在 Rt PDF 中,PD=32,PF=22,DF=2.在 Rt PFE 中,PF=22,PE=3,EF=1.FG=322.sinGDF=32DFFG.GDF=arcsin 32.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-14-高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-15-w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
