1、学科网（北京）股份有限公司20222023 学年度第二学期期末学业水平诊断 高一数学 注意事项：1本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟。2使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3答卷前将密封线内的项目填写清楚。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若随机事件 A，B 互斥，且()0.6P A=，()0.3P B=，则()P AB=A0 B0.18 C0.6 D0.9 2下列几何元素可以确定唯一平面的是 A三个点 B圆
2、心和圆上两点 C梯形的两条边 D一个点和一条直线 3若一水平放置的正方形的边长为 2，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是 A2 B2 C2 2 D4 4某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从 A，B，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为 城市 销售总数 抽取数量 A 420 m B 280 20 C 700 n A60 B80 C100 D120 5在正四面体 SABC中，D，E 分别是 SC，AB 中点，则 DE 与 BS 所成角的大小为 A 6 B 4 C 3 D 2 6甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率
3、为 12，13，13，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为 A 29 B 49 C 59 D 79 学科网（北京）股份有限公司7如图，圆锥 PO 的侧面展开图是半径为 5、圆心角为 65 的扇形，过 PO 上一点O 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，相应圆柱的体积为 A 32 B3 C 92 D6 8如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字 1 到 8，抛掷这个正八面体两次，记它与地面接触的面上的数字分别为 x，y，则2xy的概率为 A 1132 B 1332 C 1532 D1732 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分
4、，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知m，n 为空间中两条不同的直线，为空间中三个不同的平面，则 A若，m，则m B若m，m，n=，则mn C若m，n，mn，则 D若，m=，则m 10某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则 学科网（北京）股份有限公司 A该校高一学生总数为 800 B该校高一学生中选考物化政组合的人数为 96 C该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多
5、 D用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取 20 人，则生史地组合抽取 6 人 11一个袋子中有标号分别为 1，2，3，4 的 4 个球，除标号外没有其他差异从袋中随机摸球两次，每次摸出 1 个球，设事件 A=“第一次摸出球的标号小于 3”，事件 B=“第二次摸出球的标号小于 3”，则以下结论错误的有 A若摸球方式为有放回摸球，则 A 与 B 互斥 B若摸球方式为有放回摸球，则 A 与 B 相互独立 C若摸球方式为不放回摸球，则 A 与 B 互斥 D若摸球方式为不放回摸球，则 A 与 B 相互独立 12在枝长为 1 的正方体1111ABCDA B C D中，E，F 分别是 AD，1DD
6、 中点，M，N，G，H 分别是线段 AB，11C D，1AC，1AD 上的动点，则 A存在点 M，N，使得1ENMC B三棱锥CMND的体积为定值 CCGGH+的最小值为 43 D直线CE 与 MF 所成角的余弦值的取值范围为20,5 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13某学校高一男生、女生的人数之比为 45，现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取 90 人，若样本中男生的平均身高为 171cm，女生的平均身高为 160.2cm，则该校高一学生平均身高的估计值为 （单位：cm）14已知正四棱台上、下底面边长分别为 2 和 4，侧棱长为 3，则此棱台的体积为 15我国古
7、代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 1 个阳爻的概率是 学科网（北京）股份有限公司 16边长为 2 的正三角形 ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 中点，将 ADE沿 DE 折起，使得 AEBD，则四棱锥 ABCED的体积为 ，其外接球的表面积为 （本小题第一空 2 分，第二空3 分）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）某农场在两块面积相同的水稻试验田中分别种植甲、乙两种水稻，已知连续 6 季的产量如下：品种
8、 第 1 季 第 2 季 第 3 季 第 4 季 第 5 季 第 6 季 甲/kg 550 580 570 570 550 600 乙/kg 540 590 560 580 590 560 现在该农场决定选择其中一种水稻进行推广种植，若你是农场经营者，你会如何选择？请使用统计学的有关知识进行说明 18（12 分）如图，在三棱锥 DABC中，DA 底面 ABC，ABBC （1）证明：平面CBD 平面 DAB；（2）若12DAABBC=，求直线CA 与平面 DBC 所成角的正弦值 19（12 分）某商场随机抽取了 100 名员工的月销售额 x（单位：千元），将 x 的所有取值分成)5,10，)10
9、,15，)15,20，)20,25，25,30 五组，并绘制得到右图所示的频率分布直方图，其中2ba=学科网（北京）股份有限公司（1）求a，b 的值；（2）设这 100 名员工月销售额的第 75 百分位数为 p 为调动员工的积极性，该商场基于每位员工的月销售额 x 制定如下奖励方案：当某员工的月销售额 x 不足 5 千元时，不予奖励；当)5,7xp时，其月奖励金额为 0.3 千元；当)7,3xpp+时，其月奖励金额为 0.8 千元；当 x 不低于()3p+时，其月奖励金额为 1.1千元根据频率分布直方图，用样本频率近似概率，估计上述奖励方案下该商场一名员工的月奖励金额的平均值 20（12 分）
10、如图，在正三棱柱111ABCA B C中，D 是 BC 中点 （1）证明：1A B平面1AC D；（2）若2AB=，11ACA B，求1A 到平面1AC D 的距离 21（12 分）如图，在圆锥 PO 中，P 为顶点，O 为底面圆的圆心，A，B 为底面圆周上的两个相异动点，且3 3OA=，4PO=（1）求 PAB面积的最大值；学科网（北京）股份有限公司（2）已知 ABC为圆O 的内接正三角形，M 为线段 PO 上一动点，若二面角 BMAC的余弦值为2531，试确定点 M 的位置 22（12 分）已知甲、乙两个袋子中各装有形状、大小、质地完全相同的 3 个红球和 3 个黑球，现设计如下试验：从甲
11、、乙两个袋子中各随机取出 1 个球，观察两球的颜色，若两球颜色不同，则将两球交换后放回袋子中，并继续上述摸球过程；若两球颜色相同，则停止取球，试验结束（1）求第 1 次摸球取出的两球颜色不同的概率；（2）我们知道，当事件 A 与 B 相互独立时，有()()()P ABP A P B=那么，当事件 A 与 B 不独立时，如何表示积事件 AB 的概率呢？某数学小组通过研究性学习发现如下命题：()()()AP ABP A P B=，其中()P B A 表 示 事 件 A 发 生 的 条 件 下 事 件 B 发 生 的 概 率，且 对 于 古 典 概 型 中 的 事 件 A，B，有()()()n AB
12、B An AP=依据上述发现，求“第 2 次摸球试验即结束”的概率 20222023 学年度第二学期期末学业水平诊断 高一数学参考答案及评分标准 一、选择题 DCAC BDCD 二、选择题 9BCD 10AC 11ACD 12BCD 三、填空题 13165 14 28 73 15 332 1624，112 四、解答题 17解：设甲种水稻产量的平均值和方差分别为1x，21s，乙种水稻产量的平均值和方差分别为2x，22s，由题中数据可得，()115505805705705506005706x=+=，()215405905605805905605706x=+=，学科网（北京）股份有限公司()()()
13、()()()2222222115505705805705705705705705505706005703006s=+=，()()()()()()222222221100054057059057056057058057059057056057063s=+=因为12xx=，2212ss，所以两种水稻产量的总体水平相同，但甲种水稻的产量较稳定，所以应推广甲种水稻种植 18解：（1）证明：因为 AD 面 ABC，BC 面 ABC，所以 BCAD 又因为 BCAB，ABADA=，所以 BC 面 ABD 因为 BC 面 BCD，所以CBD 面 ABD （2）过点 A 做 AEBD于 E，连接CE 又面CB
14、D 面 ABD，面CBD 面 ABDBD=，AE 平面 ABD，所以 AE 面 DBC 所以ACE即直线CA 与平面 DBC 所成的角 因为12DAABBC=，不妨设2BC=，则1DAAB=，所以22AE=，5AC=，故10sin10AEACEAC=，即直线CA 与面 DBC 所成角的正弦值为 1010 19解：（1）由已知得，()0.060.070.0151ab+=，所以0.06ab+=，又因为2ba=，所以0.02a=，0.04b=（2）由频率分布直方图可知，员工月销售额的第 75 百分位数为 20，所以，当)5,13x时，奖励金额为 0.3 千元；当)13,23x时，奖励金额为 0.8
15、千元；当23x时，奖励金额为 1.1 千元，学科网（北京）股份有限公司所以，该商场一位员工的月奖励金额的平均值为：()()()0.02 50.06 30.30.06 25 0.070.04 30.80.04 20.01 51.1+0.699=（千元）20解：（1）证明：连接1AC，交1AC 于点O，连OD 因为 D，O 分别是 BC，1AC 的中点，所以1DOA B，因为 DO 平面1AC D，1A B/平面1AC D，所以1A B平面1AC D；（2）设1A Ab=，1A 到平面1AC D 的距离为d，因为11ACA B，1DOA B，所以1ACDO 又因为O 为1AC 中点，所以1ADC为
16、等腰三角形，所以1ADDC=所以213b+=，所以2b=因为1 111D AA CAADCVV=，又1 11136223226D AA CV=，111113332AADCADCVSdd=，所以63d=，即1A 到平面1AC D 的距离为63 21解：（1）取 AB 中点 N，连接ON，PN 学科网（北京）股份有限公司 设2ABa=，(0,3 3a，又3 3OA=，4PO=，所以227ONa=，22162743PNaa=+=，所以，22221434324343222PABaaSaaaa+=，当且仅当2243aa=，即(860,3 32a=时，等号成立 所以，PAB面积的最大值为 432（2）因为
17、 ABC为圆O 的内接正三角形，由正弦定理得：2 3 3 sin 609AB=过点 B 作 BQAM于点Q，连接CQ 因为 MABMAC，所以CQAM 所以BQC即为二面角 BMAC的平面角 连接 MN，设OMt=，(0,4t，则227MAt=+，2274MNt=+在 BMA中，1122BMASAB MNAM BQ=，所以22279427tBQt+=+在 BQC中，由余弦定理得：学科网（北京）股份有限公司22225cos231BQCQBCBQCBQ CQ+=，将22279427tBQCQt+=+，9BC=代入上式，解得1t=所以点 M 为线段 PO 上靠近点O 的四等分点 22解：设甲袋中的三
18、个红球为 1，2，3，三个黑球为a，b，c；乙袋中的三个红球为 4，5，6，三个黑球为d，e，f （1）设第 1 次摸球对应的样本空间为1，则()16 636n=设事件 A=“第 1 次摸球取出的两球颜色不同”，则 事件 A=()()()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,4,5,6,4,5,6defdefdefaaabbbccc，所以()18n A=所以()()()1181362n Ap An=（2）设两次摸球试验的样本空间为，则()36 36n =在样本空间 中，设事件 A=“第 1 次摸球取出的两球颜色不同”，事件
19、B=“第 2 次摸球取出的两球颜色相同”首先计算()n A 的值由（1）知，第 1 次摸球取出的两球颜色不同共有 18 个可能的结果，且每个可能的结果对应的“第 2 次摸球中从甲、乙两袋中各一个球”均有 36 种可能取法，所以()18 36n A=再计算()n AB 的值由（1）知，第 1 次摸球取出的两球颜色不同共有 18 个可能的结果不妨设第 1 次摸球中甲取出 1、乙取出d（其余情况，同理可得），则第 1 次摸球结束后，甲袋中红球 2 个、黑球 4 个，乙袋中红球 4 个、黑球 2 个，在接下来的第 2 次摸球中，当甲、乙两袋取出的球颜色相同时，共有2 44 216+=种取法 故()18 16n AB=所以()()()18 16418 369n ABP B An A=学科网（北京）股份有限公司因此()()()142299P ABP A P B A=
