1、一、平面向量的概念1向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量2表示方法用有向线段来表示向量有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向用字母a，b，或用，表示3模向量的长度叫向量的模，记作|a|或|.4零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是任意的5单位向量长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量与a平行的单位向量e.6平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量又称为共线向量7相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量说明向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比
2、较大小二、平面向量的线性运算1向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2)法则：三角形法则；平行四边形法则(3)运算律：abba；(ab)ca(bc)2向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法(2)法则：三角形法则说明要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”3实数与向量的积(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：|a|a|.当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0.由此可见
3、，总有a与a平行(2)运算律：(a)()a，()aaa，(ab)ab.三、两个定理1向量共线定理(1)如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.(2)向量平行的坐标表示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.2平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数1、2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a1e12e2的形式，我们称它为
4、向量的分解当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解说明零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的四、平面向量的数量积1平面向量数量积的概念及意义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，记作a，b(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos .(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积 说明b在a方向上的投影|b|c
5、os 是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.2平面向量数量积的性质设a与b是非零向量，e是单位向量，a，e.(1)eaae|a|cos .(2)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别地，aa|a|2，或|a|.(3)abab0.(4)cos .(5)|ab|a|b|.说明(1)数量积的运算要注意a0时，ab0，但ab0时不一定能得到a0或b0，因为ab时，也有ab0.(2)若向量a、b、c满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量3平面向量数量积的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)
6、(ab)cacbc.说明数量积的运算不满足结合律，即(ab)ca(bc)4平面向量数量积的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)abx1x2y1y2；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)abab0x1x2y1y20.说明x1y2x2y10与x1x2y1y20不同，前者是两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的条件，后者是它们垂直的条件(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分将答案填在题中的横线上)1化简后等于_解析：原式()()()()0.答案： 2已知向量a(1,3x)，b(1,9)，若a与b共线，则实数x的值为_解析：
7、a与b共线，93x0，x3.答案：33已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则_解析：(mn)(mn)(23,3)(1，1)(26)0，所以3.答案：34已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_解析：(3，4)，所以|5，这样同方向的单位向量是.答案：5如图，M，N分别是AB，AC的一个三等分点，且()成立，则_.解析：M，N分别是AB，AC的一个三等分点，即.又()，.答案：6若|a|2，|b|6，ab3，则|ab|等于_解析：(ab)2a22abb2463634，|ab|.答案：7已知向量(2,0)，(2,2)，(1，3)，则和的夹角为_解析：由题意
8、，得(1，1)，则|，|2，2，cos，.又0，.答案：8在梯形ABCD中，2，AC与BD相交于O点若a，b，则_.解析：依题意得ABCD，且AB2CD，又ba，因此ba.答案：ba9如图所示，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则_.解析：设AC与BD的交点为O，则2222232018.答案：1810已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_解析：ab(e12e2)(ke1e2)ke(12k)e1e22ek(12k)cos22k.又ab0，2k0，k.答案：11下列5个说法：共线的单位向量是相等向量；若a，b，c满足abc时
9、，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形；对任意的向量，必有|ab|a|b|；(ab)ca(bc)；(ab)cacbc.其中正确的是_解析：共线也有可能反向，故不正确；若|a|0，显然不能构成三角形，故不正确；由数量积的性质知不正确；由向量加法的三角形法则知正确；由数量积的性质知正确答案：12设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向量积”：ab是一个向量，它的模|ab|a|b|sin ，若a(，1)，b(1，)，则|ab|_.解析：cos ，sin .|ab|222.答案：213已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_解析：法一：以，为基向量，设AE
10、(01)，则，所以()()2,011.又，所以()2,101，,即的最大值为1.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，,令E点坐标为(t，0)(0t1)可得(t，1)(0，1)1，, (t，1)(1，0)t1，,1，最大值为1.答案：1114(上海高考)已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1，a2，a3；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c1，c2，c3.若i，j，k，l1,2,3且ij，kl，则的最小值是_解析：根据对称性，当向量与互为相反向量，且它们的模最大时，最小这时aiAC，ajAD，ckCA，clCB，25.答案：5二、解答题(本大题共6小题，共
11、90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)在四边形ABCD(A、B、C、D顺时针排列)中，(6,1)，(2，3)，若有，又有，求的坐标解：设(x，y)，则(6x,1y)，(4x，y2)，(x4,2y)，(x2，y3)又及，x(2y)(x4)y0，(6x)(x2)(1y)(y3)0.解得或(6,3)或(2，1)16(本小题满分14分)已知|1，|，0，点C在AOB的内部，且AOC30，若mn (m，nR)，求的值解：0，AOB90，又AOC30，且点C在AOB内部，BOC60.(mn)m|cosAOC|，(mn)3n|cosBOC|.m3n，即3.17(本小题
12、满分14分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且(a2b)(2ab)0，求a与b的夹角.解：(1)设c(x，y)，|c|2，2，即x2y220.ca，a(1,2)，2xy0，即y2x.联立，得或c(2,4)或(2，4)(2)(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20,2|a|23ab2|b|20.|a|25，|b|2，代入式，得ab，cos 1.又0，.18(本小题满分16分)已知向量a(，1)，b.(1)求证：ab；(2)是否存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy？如果存在，试确定k和t的
13、关系；如果不存在，请说明理由解：(1)证明：ab(，1)0，ab.(2)假设存在非零实数k，t使xy，则a(t23)b(katb)0，整理得ka2tk(t23)abt(t23)b20.又ab0，a24，b21.4kt(t23)0，即k(t33t)(t0)，故存在非零实数k，t，使xy成立，其关系为k(t33t)(t0)19(本小题满分16分)已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos ，sin )(0)(1)若|(O为坐标原点)，求与的夹角；(2)若，求tan 的值解：(1)(2cos ，sin )，|，(2cos )2sin27，cos .又(0，)，即AOC，又易知AOBAOCBOC，与的
14、夹角为.(2)(cos 2，sin )，(cos ，sin 2)，由，知0，可得cos sin .(cos sin )2，2sin cos ，(0，)，.又(cos sin )212sin cos ，cos sin 0，cos sin .由得cos ，sin ，从而tan .20(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin ，t)，.(1)若a，且|，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k4，且tsin 取最大值4时，求.解：(1)因为(n8，t)，且a，所以8n2t0，即n82t.又|，所以564(n8)2t25t2，解得t8.所以(24,8)或(8，8)(2)因为(ksin 8，t)，与a共线，所以t2ksin 16.又tsin (2ksin 16)sin 2k2，当k4时，10，所以当sin 时，tsin 取得最大值；由4，得k8，此时，故(4,8)，所以848032.
