1、不等式单元知识总结 一、不等式的性质 1两个实数 a 与 b 之间的大小关系(1)ab0ab(2)ab=0a=b(3)ab0ab ；若、，则；abR(4)ab1ab(5)ab=1a=b(6)ab1ab 2不等式的性质(1)abba()对称性(2)ab bcac()传递性(3)abacbc()加法单调性 abc0acbc(4)(乘法单调性)ab c0acbc(5)abcacb()移项法则(6)abcdacbd()同向不等式可加(7)abcdacbd()异向不等式可减(8)ab0cd0acbd()同向正数不等式可乘(9)ab00cdbd()异向正数不等式可除 ac(10)ab0nNab()nn 正
2、数不等式可乘方(11)ab0nNa()n 正数不等式可开方bn(12)ab01a()正数不等式两边取倒数1b 3绝对值不等式的性质(1)|a|a|a|=a (a0)a (a0)；，(2)如果 a0，那么|x|axaaxa22 ；|x|axaxaxa22 或 (3)|ab|a|b|(4)|ab|(b0)|ab(5)|a|b|ab|a|b|(6)|a1a2an|a1|a2|an|二、不等式的证明 1不等式证明的依据(1)abab0abab0ab0abab0abab=0a=b实数的性质：、同号；、异号 ；(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：|a|0；a20；(ab)20(a、bR)a2b22a
3、b(a、bR，当且仅当 a=b 时取“=”号)、，当且仅当时取“”号ab2ab(abRa=b=)2不等式的证明方法(1)比较法：要证明 ab(ab)，只要证明 ab0(ab0)，这种证明不等式的方法叫做比较法 用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判断符号(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等 三、解不等式
4、1解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式(2)解一元二次不等式(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式 解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带绝对值的不等式；解不等式组 2解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性(3)注意代数式中未知数的取值范围 3不等式的同解性(1)f(x)g(x)0f(x)0 g(x)0f(x)0 g(x)0 与或 同解(2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0 与或 同解(3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)
5、0(g(x)0)与或 同解(4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0(g(x)0)与或 同解(5)|f(x)|g(x)与g(x)f(x)g(x)同解(g(x)0)(6)|f(x)|g(x)与 f(x)g(x)或 f(x)g(x)(其中 g(x)0)同解；与 g(x)0 同解(7)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02与或 同解(8)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)02与同解(9)当 a1 时，af(x)ag(x)与 f(x)g(x)同解，当 0a1 时，af(x)ag(x)与 f(x)g(x)同解(10)a1log f(x)lo
6、g g(x)f(x)g(x)f(x)0aa当 时，与同解 当 时，与同解0a1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0g(x)0aa 单元知识总结 一、坐标法 1点和坐标 建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x，y)建立了一一对应的关系 2两点间的距离公式 设两点的坐标为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离|P P|=12()()xxyy212212 特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：(1)当 x1=x2 时(两点在 y 轴上或两点连线平行于 y 轴)，则|P1P2|=|y2y1|(2)当 y1=y2 时(两点在 x 轴上或
7、两点连线平行于 x 轴)，则|P1P2|=|x2x1|3线段的定比分点(1)PP PP PPPP PPPPP P=PPP P12121212112定义：设 点把有向线段分成和两部分，那么有向线段和的数量的比，就是 点分所成的比，通常用表示，即，点 叫做分线段为定比的定比分点PPP2 当 点内分时，；当 点外分时，PP P0PP P01212(2)公式：分 P1(x1，y2)和 P2(x2，y2)连线所成的比为的分点坐标是 xxxyyy1212111()特殊情况，当 是的中点时，得线段的中点坐标PP P=1P P1212 公式 xxxyyy121222 二、直线 1直线的倾斜角和斜率(1)当直线
8、和 x 轴相交时，把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角 当直线和 x 轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为 0 所以直线的倾斜角0，)(2)倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜 率，直线的斜率常用 表示，即 kk=tan()2 当 k0 时，=arctank(锐角)当 k0 时，=arctank(钝角)(3)斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为 k=y(xx)212yxx121 2直线的方程(1)点斜式 已知直线过点(x0，y0)，斜率为 k，则其方程为：yy0=k(xx0)(2)斜截式 已知
9、直线在 y 轴上的截距为 b，斜率为 k，则其方程为：y=kxb(3)两点式 已知直线过两点(x1，y1)和(x2，y2)，则其方程为：yyyyxxx121121=x(xx)12(4)截距式 已知直线在 x，y 轴上截距分别为 a、b，则其方程为：xayb 1(5)参数式 已知直线过点 P(x0，y0)，它的一个方向向量是(a，b)，则其参数式方程为为参数，特别地，当方向向量为xxatyybt00(t)v(cos，sin)(为倾斜角)时，则其参数式方程为 xxtyyt00cossin为参数(t)这时，的几何意义是，ttv=p p|t|=|p p|=|p p|000(6)一般式 AxByC=0
10、(A、B 不同时为 0)(7)特殊的直线方程 垂直于 x 轴且截距为 a 的直线方程是 x=a，y 轴的方程是 x=0 垂直于 y 轴且截距为 b 的直线方程是 y=b，x 轴的方程是 y=0 3两条直线的位置关系(1)平行：当直线 l1 和 l2 有斜截式方程时，k1=k2 且 b1b2 当 和 是一般式方程时，ll12AABBCC121212(2)重合：当 l1 和 l2 有斜截式方程时，k1=k2 且 b1=b2，当 l1 和 l2 是 一般方程时，AABBCC121212(3)相交：当 l1，l2 是斜截式方程时，k1k2 当，是一般式方程时，ll12AABB2212 斜交交点：的解到
11、角：到 的角夹角公式：和 夹角A xB yCA xB yCkkk kk kkkk kk k11122222112121221121200110110llll1tan()tan|()垂直当 和 有叙截式方程时，当 和 是一般式方程时，llll1212121212k k=1A AB B=0 4点 P(x0，y0)与直线 l：AxByC=0 的位置关系：AxByC=0P()AxByC0P0000在直线 上 点的坐标满足直线方程 在直线 外ll 点，到直线 的距离为：P(xy)d=|Ax+By+C|0000lAB22 5两条平行直线 l1AxByC1=0，l2AxByC2=0 间 的距离为：d=|CC
12、|12AB22 6直线系方程 具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量 x，y 以外，还含有特定的系数(也称参变量)确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量(1)共点直线系方程：经过两直线 l1A1xB1yC1=0，l2A2xB2yC2=0 的交点的直线系方程为：A1xB1yC1(A2xB2yC2)=0，其中是待定的系数 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到 A2xB2yC2=0，因此它不表示 l2当=0 时，即得 A1xB1yC1=0，此时表示 l1(2)平行直
13、线系方程：直线 y=kxb 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线 AxByC=0 平行的直线系方程是 AxBy=0(C)，是参变量(3)垂直直线系方程：与直线 AxByC=0(A0，B0)垂直的直线系方程是：BxAy=0 如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解 7简单的线性规划(1)二元一次不等式 AxByC0(或0)表示直线 AxByC=0 某一侧所有点组成的平面区域 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值
14、或最小值的问题，称为线性规划问题，例如，z=axby，其中 x，y 满足下列条件：A xB yC0(0)A xB yC0(0)A xB xC0(0)111222nnn或或或(*)求 z 的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量 x、y 的线性约束条件，z=axby 叫做线性目标函数满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解 三、曲线和方程 1定义 在选定的直角坐标系下，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)=0 的实数解建立了如下关系：(1)曲线 C 上的点的坐标都是方程 f
15、(x，y)=0 的解(一点不杂)；(2)以方程 f(x，y)=0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点(一点不漏)这时称方程 f(x，y)=0 为曲线 C 的方程；曲线 C 为方程 f(x，y)=0 的曲线(图形)设 P=具有某种性质(或适合某种条件)的点，Q=(x，y)|f(x，y)=0，若设点M 的坐标为(x0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：(1)MP(xy)QPQ(2)(xy)QMPQP0000，即；，即 以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：(1)(xy)QMP(2)MP(xy)Q0000，；，显然，当且仅当且，即时，才能称方程，PQQPP=Qf(xy)=
16、0 为曲线 C 的方程；曲线 C 为方程 f(x，y)=0 的曲线(图形)2曲线方程的两个基本问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤：建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点 M的坐标；立式：写出适合条件 p 的点 M 的集合 p=M|p(M)；代换：用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)=0；化简：化方程 f(x，y)=0 为最简形式；证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述方法简称“五步法”，在步骤中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程(2)由方程画曲线(图形)的
17、步骤：讨论曲线的对称性(关于 x 轴、y 轴和原点)；求截距：方程组，的解是曲线与 轴交点的坐标；f xyy()00 x 方程组，的解是曲线与 轴交点的坐标；f xyx()00y 讨论曲线的范围；列表、描点、画线 3交点 求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组 4曲线系方程 过两曲线 f1(x，y)=0 和 f2(x，y)=0 的交点的曲线系方程是 f1(x，y)f2(x，y)=0(R)四、圆 1圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆 2圆的方程(1)标准方程(xa)2(yb)2=r2(a，b)为圆心，r 为半径 特别地：当圆心为(0，0)时，方程为 x2y2=r2
18、(2)一般方程 x2y2DxEyF=0 配方()()xDyEDEF22442222 当 时，方程表示以，为圆心，以为半径的圆；DE4F0()22DEDEF2212422 当时，方程表示点，DE4F=0()22DE22 当 D2E24F0 时，方程无实数解，无轨迹(3)参数方程 以(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的参数方程为 xarybrcossin 为参数()特别地，以(0，0)为圆心，以 r 为半径的圆的参数方程为 xryrcossin 为参数()3点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r(1)dr(2)d=r(3)dr点在圆外；点在圆上；点在圆内 4直线与圆的位置关系
19、设直线 l：AxByC=0 和圆 C：(xa)2(yb)2=r2，则 dAaBbCAB|22(1)0dr(2)=0d=r(3)0dr相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，或 ；相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，或；相离直线与圆的方程组成的方程组无解，或 5求圆的切线方法(1)已知圆 x2y2DxEyF=0 若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是 x xy yD xxE yyF0000220()()当，在圆外时，表示(xy)x xy yD(x)E(y)F=0000000 xy22 过两个切点的切点弦方程 若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为 yy0=k(xx
20、0)，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 若已知切线斜率为 k，则设切线方程为 y=kxb，再利用相切条件求 b，这时必有两条切线(2)已知圆 x2y2=r2 若已知切点 P0(x0，y0)在圆上，则该圆过 P0 点的切线方程为 x0 xy0y=r2 已知圆的切线的斜率为，圆的切线方程为ky=kxr k2 1 6圆与圆的位置关系 已知两圆圆心分别为 O1、O2，半径分别为 r1、r2，则(1)|O O|=rr(2)|O O|=|rr|(3)|rr|O O|rr12121212121212两圆外切；两圆内切；两圆相交 单元知识总结 一、圆锥曲线 1椭圆(1)
21、定义 定义 1：平面内一个动点到两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)定义 2：点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数 时，这个点的轨迹是椭圆e(0e1)ca(2)图形和标准方程 图 的标准方程为：图 的标准方程为：811(ab0)821(ab0)xaybxbya22222222(3)几何性质 条件M|MF1|+|MF2|=2a，2a|F1F2|M|MF|Ml=|MF|Ml=e0e11122点到 的距离点到的距离，标准方程xaybab222210()xbyaab222210()顶点A1(a，0)，A2(a，0)
22、B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴对称轴：x 轴，y 轴长轴长|A1A2|=2a，短轴长|B1B2|=2b焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|=2c(c 0)，c2=a2 b2 离心率e(0e1)ca准线方程ll12xx：；：acac22ll12yy：；：acac22焦点半径|MF1|a ex0，|MF2|a ex0|MF1|a ey0，|MF2|a ey0点和椭圆的关系外在椭圆上内xaybxy022022001(,)(k 为切线斜率)，ykx a kb222(k 为切线斜率)，ykx b k
23、a222切线方程x xay yb02021(x0，y0)为切点x xby ya02021(x0，y0)为切点切点弦方 程(x0，y0)在椭圆外x xay yb02021(x0，y0)在椭圆外x xby ya02021弦长公式|xx|1+k|yy|1+1k212122或其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k 为割弦所在直线的斜率 2双曲线(1)定义 定义 1：平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)定义 2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数 e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这
24、定点叫做双曲线的焦点)(2)图形和标准方程 图 83 的标准方程为：xayb2222，1(a0b0)图 84 的标准方程为：yaxb2222，1(a0b0)(3)几何性质 条件P M|MF1|MF2|2a，a 0，2a|F1F2|PM|MF|Ml|MF|Mlee11122点到 的距离 点到 的距离 ，标准方程xayb2222，1(a0b0)yaxb2222，1(a0b0)顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)轴对称轴：x 轴，y 轴，实轴长|A1A2|2a，虚轴长|B1B2|2b焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c(c
25、0)，c2 a2 b2离心率e(e1)ca准线方程ll12xx：；：acac22ll12yy：；：acac22渐近线方程yx(0)或baxayb2222yx(0)或abyaxb2222共渐近线的双曲线系方程xayb2222k(k0)yaxb2222k(k0)焦点半径|MF1|ex0 a，|MF2|ex0 a|MF1|ey0 a，|MF2|ey0 aykx a kb222(k 为切线斜率)kk或 babaykx b ka222(k 为切线斜率)kk或 ababx xay yb02021(x0，y0)为切点y yax xb02021(x0，y0)为切点切线方程xyaa(xy)2200的切线方程：，
26、为切点x yy x002 切点弦方程(x0，y0)在双曲线外x xay yb02021(x0，y0)在双曲线外y yax xb02021弦长公式|xx|1+k|yy|1+1k212122或其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k 为割弦所在直线的斜率 3抛物线(1)定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离
27、p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 弦长公式：设直线为 抛物线为，ykxby2px|AB|212 k|xx|yy|2121112k 焦点弦长公式：|AB|px1x2 4圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用 e 表示，当 0e1时，是椭圆，当 e1 时，是双曲线，当 e1 时，是抛物线 二、利用平移化简二元二次方程 1定义 缺 xy 项的二元二次方程 Ax2Cy2DxEyF0(A、C 不同时为 0)，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型
28、方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程 AC 是方程为圆的方程的必要条件 A 与 C 同号是方程为椭圆的方程的必要条件 A 与 C 异号是方程为双曲线的方程的必要条件 A 与 C 中仅有一个为 0 是方程为抛物线方程的必要条件 2对于缺 xy 项的二元二次方程：Ax2Cy2DxEyF0(A，C 不同时为 0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程，其方法有：待定系数法；配方法 椭圆：或()()()()xhaykbxhbyka2222222211 中心 O(h，k)双曲线：或()()()()xhaykbykaxhb2222222211 中心 O(h，k)抛物线：对称轴平行于 x 轴的抛物线方程为(yk)22p(xh)或(yk)22p(xh)，顶点 O(h，k)对称轴平行于 y 轴的抛物线方程为：(xh)22p(yk)或(xh)22p(yk)顶点 O(h，k)以上方程对应的曲线按向量 a(h，k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式
