1、江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.函数在0，上的平均变化率为( )A. 1B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.【详解】平均变化率为.故选：C【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.2.复数z满足，则复数的虚部为（ ）A. 1B. 1C. iD. i【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，再利用复数的代数形式求出结果.【详解】解：，则复数的虚部为1故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般
2、步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式3.已知随机变量 服从正态分布，若，则为（ ）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6【答案】B【解析】【分析】X服从正态分布，对称轴，利用正态曲线的对称性可解【详解】解：随机变量X服从正态分布 ，又，；故选：B【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题解题的关键是利用对称轴确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断对于正态分布，由是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的，有；(2)；(3)4.若，则等
3、于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由和组合数公式得,化简得,解之得.考点：组合数计算.5.已知，则为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数运算,求得,代入即可求解.【详解】因为所以由导数运算公式可得所以故选:A【点睛】本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题.6.二项式展开式中的常数项是A. 180B. 90C. 45D. 360【答案】A【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【详解】解：二项式展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中常数项是，故选A【点睛】
4、本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题7.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件概率的定义，分别计算即得解.【详解】由题意事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件由条件概率的定义：故选：B【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，
5、属于中档题.8.如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A. 48种B. 72种C. 96种D. 144种【答案】B【解析】【分析】 区域与其他区域都相邻，从开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：，对于 区域，有4种涂法，对于区域，与 相邻，有3种涂法，对于区域，与 相邻，有2种涂法，对于区域，若其与 区域同色，则 有2种涂法，若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 区域有2+13种涂色方法，则不同的涂色方案共有4
6、32372种；故选： B【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数9.设函数f（x）在R上可导，其导函数为，且函数f（x）在x1处取得极大值，则函数yx的图象可能是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由极值与导数的关系确定，确定当0x1以及x0时，的符号；当x1时，0；当x1时，符号由此观察四个选项能够得到正确结
7、果【详解】函数f（x）在R上可导，其导函数，且函数f（x）在x1处取得极大值，当x1时，0；当x1时，0；当x1时，0当0x1时，0；x0时，0；当x1时，0；当x1时，0故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用10.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分两类求解，当，取 时， 取8个，当 取时， 取7个，分别求值，再相加.【详解】当取 时， 取8个，则，当 取时， 取7个，则，所以 .故选：A【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了分类讨论的方法，属于基础题.11.现安排甲、乙、丙、丁、戊
8、5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）A. 每人都安排一项工作的不同方法数为54B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是【答案】D【解析】【分析】对于选项 ，每人有4种安排法，故有种；对于选项 ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项，先分组再安排；对于选项，以司机
9、人数作为分类标准进行讨论即可.【详解】解：每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误，分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位，故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 ,从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，即选项D正确，故选：D【点睛】本题考查了排列知识
10、的应用.求解排列问题的六种主要方法:1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.间接法:正难则反、等价转化的方法.12.已知函数，的最小值为3，若存在，使得，则正整数的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】对函数求导,研究函数单调性,利用最值与函数单调性的
11、关系,即可求得的值,从而求得的最大值与最小值,再根据题意推出,即可求得的最大值.【详解】,当或时,在恒成立,从而在单调递减,所以,解得,不合题意;当时,易得在单调递减,在单调递增,所以,解得,不合题意;当时,在单调递增,所以,满足题意;综上知.所以,所以,依题意有,即,得,又,所以.从而的最大值为3.故选:B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值,考查求参数的取值范围,需要学生结合分类讨论思想答题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 【答案】【解析】试题分析：设抽到次品个数为，则H（3，2，10
12、），利用公式E=，即可求得抽到次品个数的数学期望的值解：设抽到次品个数为，则H（3，2，10）E=故答案为点评：本题考查离散型随机变量数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解14.若，则_【答案】1023【解析】【分析】赋值法 令得：；令 得：,再两式相减可得.【详解】解：，令得： ；令 得：； 由可得：；故答案为：【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如， ()的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可(2)对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可(3)若，则展开式中各项系数之和为15.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上
13、跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_【答案】【解析】【分析】先分别求出顺时针、逆时针方向跳的概率，分析跳四次之后停在A叶上，有两种情况：有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，再分别计算对应的概率即可.【详解】解：设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则，解得p，即按照顺时针跳的概率为，则逆时针方向跳的概率为，若青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，若先按逆时针开始从AB，则剩余3次中有1次是按照逆时针，
14、其余2次按顺时针跳，则对应的概率为，若先按顺时针开始从AC，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为，则概率为，故答案为:【点睛】求复杂互斥事件概率的步骤：第一步，分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果16.若存在，使得函数与的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为_.【答案】【解析】分析】分别求出函数与的导函数，设公共点为，则解得，又，则，令，求出函数的导数，研究函数的最值.【详解】解：设曲线与的公共点为，因为，所以，化简得，解得或，又，且，
15、则.因为.所以.设，所以，令，得，所以当时，；当时，.即在上单调递增，在上单调递减，所以b的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知是复数，与均为实数（1）求复数；（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围【答案】（） z=4-2i（）2a6【解析】【详解】（1）设所以，； 由条件得，且， 所以(2) 由条件得：， 解得所以，所求实数的取值范围是-18.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法
16、总数.（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻.【答案】（1）2520种（2）5040种（3）3600种（4）576种（5）1440种【解析】【分析】（1）按照排列的定义求解.（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解.（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解.【详
17、解】（1）从7人中选5人排列，有（种）.（2）分两步完成，先选4人站前排，有种方法，余下3人站后排，有种方法，共有（种）.（3）（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有（种）.（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有（种）.（5）（插空法）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有（种）.【点睛】本题主要考查了对排列的理解和排列数的计算，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.19.已知的展开式中前三项的系数为等差数列.（1）求二项式系数最大项；（2）求展开式中系数最大的项.【
18、答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项.【详解】（1）由题意，的展开式是，化简得则，因为，前三项的系数为等差数列，则有，解得或（舍去）则，则的展开式是二项式系数是，当时，二项式系数最大，则（2）由（1）得，的展开式是根据组合数性质，最大，而随着的增大而减小，且，则计算，则当或时，系数最大，则系数最大项是和【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型.20.有一块半圆形的空地，直径米，政府计划
19、在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃，如图所示，其中为圆心，在半圆上，其余为绿化部分，设.（1）记花圃的面积为，求的最大值；（2）若花圃的造价为10元/米，在花圃的边、处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰、不铺设，求满足什么条件时，会使总造价最大.【答案】（1）；（2）时，总造价最大.【解析】【分析】（1）根据梯形的面积公式可得，解得三角函数的性质和导数求得的最大值.（2）求得花圃的总造价，然后利用导数求得时，总造价最大.【详解】（1）设半径，则米，作，垂足为，因为，所以，所以，所以.，所以当时，递增；当时，递减.所以当时最大，最大值为.（2）设花圃总造价为，.令，则，由于
20、，则.当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数有最大值，即总造价最大.【点睛】本小题主要考查函数导数在实际生活中的应用，考查利用导数求最值，属于中档题.21.已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求
21、在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X的数学期望；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？【答案】（1）；（2）；（3）详见解答.【解析】【分析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件，求出，每个人获奖的概率相等，获奖人数服从二项分布，求出可能值的概率，由此求出的分布列，应用二项分布期望公式即可求出结论；（3）求出中奖的期望，设中奖的的金额为，可能值为，求
22、出相应的概率，列出分布列，进而求出期望，与打9折的优惠金额对比，即可得出结论.【详解】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件，则，所以在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件，则获得一等奖的概率为，获得三等奖的概率为，所以，每个人摸奖是相互独立，且获奖概率相等，获奖人数服从二项分布，分布列为：；（3）如果选择抽奖，设中奖的的金额为，可能值为，的分布列为：，如果购买1200选择打九折，优惠金额为，选择打九折更有利.【点睛】本题考查互斥事件概率、离散型随机变量分布列期望、二项分布期望，考查计算求解能力，属于中档题.22.已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）讨论函
23、数的单调性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：.【答案】（1）见解析；（2）（3）见证明【解析】【分析】（1）对函数求导，分类讨论和两种情况，即可得出结果；（2）分类参数的方法，将化为，再由导数的方法求在的最小值即可；（3）先由（1）令可知对任意实数都有，即，再令，即可证明结论成立.【详解】解：（1）因为，所以，当时，函数在区间上单调递增；当时，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）因为对任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立.即当时，恒成立.令，则.显然当时，时，所以在上单调递减，在上单调递增.时取最小值.所以实数的取值范围是（3）在（1）中，令可知对任意实数都有，即（等号当且仅当时成立）令，则，即故 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法求出函数的单调区间，以及函数的最值等，属于常考题型.
