1、山西省怀仁市2021届高三数学下学期一模试题（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1已知i是虚数单位，则复数z满足，则z虚部为（ ）A B C D2若集合，则（ ）A B C D3某学校举行诗歌朗诵比赛，最终甲、乙、丙三位同学夺得前三名，关于他们三人的排名评委老师给出以下说法：甲是第一名：乙不是第二名：丙不是第一名，若三种说法中只有一个说法正确，则得第三名的是（ ）A甲 B乙 C丙 D无法判定4在对具有线性相关关系的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x4m81012y12356由表中数据求得
2、关于的回归方程为，则这三个样本点中，距离回归直线最近的点是：（ ）A B C D或5世界著名的数学杂志美国数学月刊于1989年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题，把题中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如图），若向棋盘内随机投掷3点，则至少有2点落在灰色区域内的概率为（ ）A B C D6函数的图象大致为（ ）A B C D7若直线与曲线和圆都相切，则的方程为（ ）A B C D8已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点，且，则（O为坐标原点）的面积为（ ）A B C3 D9“提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：，容易发现，从第3项开始，每一项是
3、前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：，；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：，则下列说法中，正确的是（ ）A“提丢斯数列”是等比数列 B“提丢斯数列”的第99项为C“提丢斯数列”前31项和为 D“提丢斯数列”中不超过20的有9项10已知双曲线的左焦点为F，右顶点A，过F作C的一条渐进线的垂线为垂足，若，则C的离心率（ ）A B C2 D11设函数的定义域为D，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质M，给出下列四个结论：函数不具有性质M 函数其有性质M；若函数具有性质M，则；若函数具有性质M，则其中正确结论的序号是（ ）A B C D12在四棱锥中，底面是边长为的正方形，P在底面的射
4、影为正方形的中心点为中点点T为该四棱锥表面上一个动点，满足都平行于过的四棱锥的截面，则动点T的轨迹围成的多边形的面积为（ ）A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13在的展开式中，常数项是_（用数字作答）14已知向量，若，则实数_15在菱形中，将沿对角线折起使得二面角的大小为，则折叠所得的四面体的外接球的半径为_16在数列中，记，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在，这三个条件中，仼选一个，补
5、充在下面问题中，（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）问题：在中，分别为角所对的边，_（1）求角B；（2）求的最大值18（12分）2020年九月十日“第二界国民健康高峰论坛”在人民日报社新媒体大厦成功举办会上，人民网舆情数据中心与中南大学爱尔眼科学院联合公布了2020中国青少年近视防控大数据报告疫情期间半年学生近视率增加了，主要原因：大规模线上教学的开展使学生户外活动的时长严重不足青少年是国家的未来和民族的希望，“少年强，青年强则国强”，新时代的青年应五育并举，为了改变现状，强健学生体魄，山西省怀仁市某学校决定全校学生参与健身操运动为了调查学生对健身操的喜欢程度，现从全校学生中随机
6、抽取了20名男生和20名女生的测试成绩（满分100分）组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，并且认为得分不低于80分得学生为喜欢男生成绩女生成绩5216086532943118872045678912045445681244579489（1）请根据茎叶图填写下面的列联表，并判定能否有的把握认为该校学生是否喜欢健身操与性别有关？喜欢不喜欢合计男生女生合计（2）从样本中随机抽取男生，女生各1人，求其中恰有1人喜欢健身操的概率（3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从全校男生，女生中各抽取1人，求其中喜欢健身操的人数X的分布列及数学期望参考公式及数据：，其中0.1500.1000.0500.025
7、0.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82819（12分）如图所示，四棱锥中，（1）求证：平面；（2）若点M是线段上的动点，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长20（12分）已知椭圆分别为C的左右焦点，离心率为椭圆上的任意一点，且的最小值为1（1）求椭圆C的标准方程（2）过的直线交椭圆C与两点，其中A关于x轴的对称点为（异与点B）试判断所在的直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标，若不是请说明理由21（12分）已知函数，（其中是自然对数的底数），（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围（二）选考题：共10分请考生
8、在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22选修44：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为，若曲线与相交于两点，求的值23【选修4：不等式选讲】（10分）已知函数（1）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；（2）在（1）的条件下，若为正实数，且三数之和为m的最大值，求证：怀仁市20202021学年度下学期一模高三教学质量调研测试理科数学答案一、选择题：12345
9、6789101112ACBBCADACCBD二、填空题：1315 142 15 16三、解答题：17.（12分）（1）解：选择：由，得即所以因为，所以，故所以 6分选择：由正弦定理，可化为由余弦定理得因为，所以， 6分选择：由正弦定理得，又，由得因为所以因为，所以 6分（2）在中，由（1）及， 8分所以 10分因为且为锐角，所以存在角A使得，所以的最大值为 12分18.（12分）详解：（1）列联表如下：喜欢不喜欢合计男生51520女生101020合计152540 4分所以，有的把握认为该校学生是否喜欢健身操与性别有关 5分（2）记事件A为“从样本中随机抽取男生，女生各1人，其中恰有1人喜欢健身
10、操”则 7分（3）由题意知的可能取值为 所以X的发布列为X012P 12分19.（本大题12分详解（1）证明：因为，所以又因为，所以，所以，取的中点为O，连接，因为所以所以，因为，所以平面所以，又因为，所以平面 5分（2）如图，以A为原点，分别以和垂直平面的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则设，则，由（1）得平面的一个法向量为设为平面的一个法向量，由，得不妨设 8分设平面与平面所成的二面角为所以整理得，解得或（舍去） 10分所以 12分20（本大题12分）详解（1）根据题意知，解的由此可得，故椭圆的标准方程为 4分（2）由（1）知，直线的斜率不可能为0，因此设直线的方程为，与椭圆C联立，
11、得关于y的一元二次方程设，则根据韦达定理有 7分而所在的直线经过点，因此等价于将式代入，得，化简得，因此直线恒过定点 12分21（本大题12分）详解：（1）因为，所以令，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增所以，又因为，所以在定义域上单调递增 5分（2）由得即，即：即：所以，即，对任意恒成立，设，则所以，当时，函数单调递增，且当时，时，若，则，若，因为，且在上单调递增，所以，综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立 10分设，则所以在单调递增，所以，即a的取值范围为 12分22（本大题10分）解：（1）把参数方程（t为参数）消去参数t得由的极坐标方程为，两边同乘以，得，将且代入，得曲线的直角坐标方程为； 5分（2）直线的标准参数方程（t为参数）把直线的参数方程（t为参数）代入曲线的普通方程中，整理得，利用参数的几何意义知： 10分23.（本大题10分）详解：（1）由题可知当时，当时，当时，所以函数的值域为，若不等式恒成立，则 5分（2）由（1）知证明：即：当且仅当时取“=”号 10分
