1、基础达标1已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_.解析：双曲线1的渐近线为y2x，则2，即b2a，又c，a2b2c2，所以a1，b2.答案：122双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程是_解析：由题意得2a2b2c，即abc，又因为a2，所以bc2，所以c2a2b24b24(c2)2，即c24c80，所以c2，b2，所求的双曲线的标准方程是1.答案：13已知双曲线C经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为yx，则双曲线C的标准方程是_解析：设双曲线的方程为y23x2(0)，将点(
2、1,1)代入可得2，故双曲线C的标准方程是1.答案：14已知双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解析：由题意求出双曲线中a3，b4，c5，则双曲线渐近线方程为yx，不妨设直线BF斜率为，可求出直线BF的方程为4x3y200，将式代入双曲线方程解得yB，则SAFBAF|yB|(ca).答案：5已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为_解析：双曲线的渐近线方程为bxay0和bxay0，圆心为(3,0)，半径r2.由圆心到直线的距离为r2，所以4a25
3、b2，又双曲线的右焦点为圆C的圆心，所以c3，即9a2b2，a25，b24.故所求双曲线的方程为1.答案：16如图，双曲线1(a，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e_；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_.解析：(1)由题意可得abc，a43a2c2c40，e43e210，e2，e.(2)设sin ，cos ，e2.答案：(1)(2)7已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交
4、于A，B两点，若ABF2是正三角形，试求该双曲线的离心率解：由ABF2是正三角形，则在RtAF1F2中，有AF2F130，AF1AF2，又AF2AF12a，AF24a，AF12a，又F1F22c，又在RtAF1F2中有AFF1FAF，即4a24c216a2，e.8设双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过(a,0)、(0，b)两点，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围解：直线l过(a,0)、(0，b)两点，得到直线方程为bxayab0.由点到直线的距离公式，且a1，得点(1,0)到直线l的距离为d1，同理得到点(1,0)到直线l的距
5、离为d2，由sc得到c.将b2c2a2代入式的平方，整理得4c425a2c225a40，两边同除以a4后令x，得到4x225x250，解得x5，又e，故e.能力提升1设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为_解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为xc或xc，代入1得y2b2，y，故AB，依题意4a，2，e212，e.答案：2已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段A
6、B三等分，则b2_.解析：C2的一条渐近线为y2x，设渐近线与椭圆C1：1(ab0)的交点分别为C(x1,2x1)，D(x2,2x2)，则OC2x4x2，即x，又由C(x1,2x1)在C1：1上，所以有1，又由椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点可得a2b25，由可得b2.答案：3已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点N(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1NF2的面积解：(1)e，故可设等轴双曲线的方程为x2y2(0)，过点M(4，)，1610，6.双曲线方程为1.(2)证明：由(1)可知：在双曲线中
7、，ab，c2.F1(2，0)，F2(2，0)(23，m)，(23，m)(23)(23)m23m2.点N(3，m)在双曲线上，9m26，m23.0.(3)F1NF2的底F1F24，高h|m|，F1NF2的面积S6.4P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值解：(1)由点P(x0，y0)(x0a)在双曲线1上，有1.由题意有，可得a25b2，c2a2b26b2，e.(2)联立得4x210cx35b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设(x3，y3)，即又C为双曲线上一点，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x5y5b2，x5y5b2.由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，式可化为240，解得0或4.
