1、四川省宜宾市第四中学2019-2020学年高二数学下学期期末模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】先解得不等式，即，再根据并集的定义求解即可.【详解】由题，所以，则,故选：C.【点睛】本题考查集合间的并集运算，属于基础题目.2. 复数为虚数单位）的虚部是（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】分析】对复数进行化简，可得虚部.【详解】对原式进行化简：所以复数的虚部为-1故选D【点睛】本题考查了复数的概念，对复数进行运算
2、化简是解题的关键，属于基础题.3. 某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()A. 10B. 11C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】由题计算出抽样的间距为13，由此得解【详解】由题可得，系统抽样的间距为13，则在样本中故选D【点睛】本题主要考查了系统抽样知识，属于基础题4. 设是向量，“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案.【详解】当时，推
3、不出当时，则即“”是“”必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.5. 函数是( )A. 奇函数且在上是减函数B. 奇函数且在上是增函数C. 偶函数且在上是减函数D. 偶函数且在上是增函数【答案】B【解析】试题分析：因为，所以函数是奇函数.又函数与函数都是上的增函数，所以由简单复合函数的单调性可知，也是上的增函数.考点：1.偶函数；2.简单复合函数的单调性6. 以下三个命题：“”是“”的充分不必要条件；若为假命题，则，均为假命题；对于命题：，使得；则是：，均有.其中正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个【答案】B【解析】【分析】求出不等式的
4、解集然后再判断两集合的关系，从而得出结论.用联结的两个命题，只要有一个为假则这个复合命题即为假.根据特称命题的否定为全称命题判断.【详解】不等式，解得或，所以，“”是“”的充分不必要条件.正确；若为假命题，则，至少有一个为假，故错误；命题：使得的否定为，均有.正确，故选B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，简单逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定，属于基础题7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】执行程序框图，从而执行结果找到结束循环的条件【详解】程序框图执行如下： S0261220304256k12345678
5、，则输出的结果是7，的取值范围；故选A【点睛】本题考查了学生读程序框图的能力，属于基础题8. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为底面是直角梯形的，且一条侧棱与底面垂直，结合三视图中数据，可得，即，故选C9. 六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁相邻，则一共有多种排法（ ）A. 72B. 144C. 180D. 288【答案】A【解析】先把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素，若这个复合元素在两端,从不包含丙丁的2人选1人,和复合元素相邻,剩余的
6、全排即可,故有种，若这个复合元素在不在两端，从不包含丙丁的2人选2人，分别放在这个复合元素两边，这4人捆绑在一起组成一个新的复合元素，再和丙丁全排即可，故有种，根据分类计数原理可得，共有48+24=72种，本题选择A选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法10. 已知直线与圆相交所
7、得弦长为4，则（ ）A. -9B. 1C. 1或-2D. 1或-9【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质，利用点到直线的距离公式和勾股定理列方程即可解得结果.【详解】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为，因为直线与圆相交所得弦长为4，所以，所以，解得或故选：D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离、圆的标准方程、圆的性质，属于基础题.11. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设三角形BAC外接圆半径为r，则 球的半径等于 表面积等于 选B.12. 若对，且，都有，则m的最小值是 注：为自然对数的底数，即A. B.
8、eC. 1D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，把问题等价于，令，根据函数的单调性，即可求解m的范围【详解】由题意，当时，由，等价于，即，故，故，令，则，又，故在递减，又由，当，解得：，故在递减，故，故选C【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数恒成立及转化思想，其中解答中把问题等价于，令，根据函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 展开式中，常数项的值为_.【答案】【解析】【分析】先写出通项，在通项公式中令x的指数为0，求出k，从而写出常数项【详解】解：令183k0，k6，故的展开式
9、中的常数项为T下标7C9684故答案为84【点睛】本题考查二项式定理中通项公式的应用：求常数项，属基本题型、基本方法的考查14. 函数在处有极值，则的值是_【答案】2【解析】，函数在处有极值，即：，解得故答案为2.点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，如果求完导如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答15. 若对于任意的关于的不等式恒成立，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】令，根据对于任意的关于的不等式恒成立，结合二次函数的
10、性质，则有，画出其可行域，令，表示原点与点 之间距离的平方，再求其最小值即可.【详解】令，因为对于任意的关于的不等式恒成立，所以，即，其可行域如图阴影部分，令，则表示原点与点 之间距离的平方，如图，当 垂直于所在的直线时，距离最小，最小值为：， 所以的最小值为： ，故答案为：【点睛】本题主要考查二元一次不等式与平面区域及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16. 如图所示,在正方体中,分别为棱,的中点,有以下四个结论:直线与是相交直线；直线与是平行直线；直线与是异面直线； 直线与所成的角为.其中正确的结论为_ (注:把你认为正确的结论序号填在横线上).【答案】.【解析】
11、【分析】根据异面直线判定定理可知错误，正确；根据线线平行的性质可知错误；通过平移求解出异面直线所成角，可得正确.【详解】平面，平面，平面，可知与为异面直线，故错误；，可知与不平行，故错误；平面，平面，平面，可知与异面，可知正确；,分别为棱,的中点，可知，则直线与所成角即为，又为等比三角形，可得，可知正确.本题正确结果：【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系、异面直线所成角的求解问题，属于基础题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣
12、进行了调查，统计数据如下表所示：对数学感兴趣对数学不感兴趣合计数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为，求的分布列和数学期望附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）有99.9%把握认为有关系，理由详见解析；（2）分布列详见解析，数学期望为2.72【解析】【分析】根据表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列和数学期望值【详解】（1
13、）因为，所以有99.9%的把握认为有关系（2）由题意知，的取值为0，1，2，3，4因为，所以，分布列为01234所以，【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列应用问题，是中档题18. 已知函数,在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)若方程有三个根,求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线方程，可得，的方程组，即可得到所求解析式；（2）求得的导数和单调区间、极值，由题意可得介于两极值之间【详解】解：（1）函数的导数为，根据在点处的切线方程为，得，即，解得，则；（2）令，解得或1，令，得或；令，得；的单调增区间是，
14、单调减区间是，有两个极值为，图象如图所示：方程有三个根，即为和有三个交点，【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题19. 如图，在正方体中，点为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据正方体特点可证得，由线面平行判定定理证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得夹角的余弦值，根据同角三角函数关系求得所求的正弦值.【详解】（1）在正方体中，四边形为平行四边形 平面，平面平面.（2）以点为坐标原点，方向分别为轴、轴、轴的正
15、方向建立如图所示的空间直角坐标系设，则，.设平面的法向量为，由，则，取，则设平面的法向量为，由，则，取，则可得，故平面与平面所成二面角的正弦值为【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中角度问题的方法，属于常考题型.20. 已知抛物线上任一点到焦点的距离比到轴距离大1.（1）求抛物线的方程；（2）设为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线恰过点，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）8.【解析】【分析】（1）本题利用定义，确定出抛物线的准线方程，从而求解出抛物线的方程；（2）利用设出直线方程，联立方程组，借助于
16、韦达定理，表示出三角形的面积,然后借助于参数的范围，利用导数求解函数的最值.【详解】（1）由已知易得抛物线为，曲线的方程为；（2）设直线的方程为，联立抛物线，消去元得，即得，点到直线的距离，则，面，令，设，则，当时，面积最大值为8.【点睛】本题考查抛物线的定义，抛物线的方程，以及直线与抛物线的位罝关系及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21. 设,函数.
17、(1) 若，求曲线在处的切线方程；(2)求函数单调区间(3) 若有两个零点,求证: .【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【详解】分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令，可得函数的增区间，可得函数的减区间；（3）原不等式等价于 令,则,于是，利用导数可证明，从而可得结果.详解：在区间上,. （1）当时，则切线方程为，即（2）若,则,是区间上的增函数, 若,令得: .在区间上, ,函数是增函数; 在区间上, ,函数是减函数; (3)设 ,原不等式 令,则,于是.（9分）设
18、函数 ,求导得: 故函数是上的增函数, 即不等式成立,故所证不等式成立.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22. 在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
19、（t为参数），在极坐标系中，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴非负半轴为极轴，圆C的方程为.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点，设圆C与直线l交于点A，B，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得，利用互化公式可得直角坐标方程.（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出.【详解】（1）由得，化为直角坐标方程为，即.（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，由，设是上述方程两根，又直线过点，结合的几何意义得 ，的最小值.【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、参数的几何意义以及根与系数关系，属于基础题.23. 设函数（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且，求的最小值【答案】（1）或（2）最小值为【解析】【分析】（1）讨论，三种情况，分别计算得到答案.（2）计算得到，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得所以所求不等式的解集为或（2）根据函数图像知：当时，所以因为，由，可知，所以，当且仅当，时，等号成立所以的最小值为【点睛】本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.
