1、提能拔高限时训练58 导数的概念及常见函数的导数一、选择题1.设函数则下列说法正确的是( )A.f(x)在x=0处连续 B.f(x)在x=0处可导C.x0时f(x)存在 D.解析：,f(x)在x=0处不连续，从而f(0)不存在.而因此.答案：C2.下列函数中,导数为x(0,+),其中k为大于零的常数的函数是( )A.ln(x+k) B.lnkx C. D.解析：,而,.答案：B3.曲线f(x)=x3+x-2在P0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,4)解析：f(x)=x3+x-2,f(x)=3x2+
2、1.直线y=4x-1的斜率为4,令3x2+1=4,解得x=1,f(1)=0,f(-1)=-4,曲线f(x)=x3+x-2在点(1,0)及点(-1,-4)处的切线与直线y=4x-1平行.答案：A4.已知y=f(x2),则y等于( )A.2xf(x2) B.2xf(x) C.4x2f(x) D.f(x2)解析：y=f(x2)(x2)=2xf(x2).答案：A5.若f(x0)=2,则等于( )A.-1 B.-2 C.1 D.解析：,.答案：A6.已知y=f(x)=ln|x|，则下列各命题中正确的命题是( )A.x0时，,x0时，B.x0时，,x0时，f(x)无意义C.x0时，都有D.x=0时，f(x
3、)无意义，对y=ln|x|不能求导解析：(1)x0时,.(2)x0时，(这里应用定义求导).答案：C7.设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于( )A.2 B. C. D.-2解析：由,曲线在(3,2)处的切线斜率为,-a=2.a=-2.答案：D8.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为( )A.-1, B.-1,0 C.0,1 D.,1解析：由题意,设切点P的横坐标为x0,且y=2x0+2=tan(为点P处切线的倾斜角),又0,02x0+21.x0-1,.答案：A9.若在(-1,+)上是减函数,则b的
4、取值范围是( )A.-1,+) B.(-1,+) C.(-,-1 D.(-,-1)解析：由题意可知在x(-1,+)上恒成立，即bx(x+2)在x(-1,+)上恒成立.由于x-1,所以bx(x+2)min,即b-1,故C为正确答案.答案：C10.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为,那么速度为零的时刻是( )A.0秒 B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末解析：根据导数的物理意义,知s=t2-3t+2,令s=0,得t=1或t=2.故选D.答案：D二、填空题11.设,则y=_.解析：答案：12.设,则y=_.解析：,.答案：13.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2
5、-5相切的直线方程为_.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x3+3x2-5的切线斜率为y=3x2+6x.依题意,有y=-3,即3x2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1),即3x+y+6=0.答案：3x+y+6=014.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=_.解析：y=aeax,切线的斜率k=y|x=0=ea0a=a.又x+2y+1=0的斜率为,即a=2.答案：2三、解答题15.已知f(x)=x2+ax+b,
6、g(x)=x2+cx+d.又f(2x+1)=4g(x),且f(x)=g(x),f(5)=30,求g(4).分析：题设中有四个参数a、b、c、d，为确定它们的值需要四个方程.解：由f(2x+1)=4g(x),得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.于是有a+2=2c,a+b+1=4d,由f(x)=g(x),得2x+a=2x+c,于是a=c.由得a=c=2.此时f(x)=x2+2x+b,由f(5)=30,得25+10+b=30.于是b=-5,再由得.从而,故.16.已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4.(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；(2)第(1)小题中切线
7、与曲线C是否还有其他公共点？解：(1)把x=1代入曲线C的方程，求得y=-4.切点为(1,-4).y=12x3-6x2-18x,切线斜率为k=y|x=1=12-6-18=-12.切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.(2)由得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,(x-1)2(x+2)(3x-2)=0,x=1,-2,代入y=3x4-2x3-9x2+4,求得y=-4,32,0，即公共点还有(-2,32),(,0).教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间(-,0)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数,且方程f(x)=0有三个实数根
8、,它们分别为,2,.(1)求c的值;(2)求证：f(1)2;(3)求|-|的取值范围.(1)解：f(x)=3x2+2bx+c,f(x)在区间(-,0)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数,当x=0时,f(x)取极大值.f(0)=0.c=0.(2)证明：f(2)=0,d=-4(b+2).f(x)=3x2+2bx,令f(x)=0,x=0或.f(x)在区间(0,2)上是减函数,.b-3.f(1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-7-3b2.(3)解：f(x)=0的三个实数根为,2,故设f(x)=(x-)(x-2)(x-),f(x)=x3-(2+)x2+(2+2+)x-2.而,b-3,(b-2)
9、225.(b-2)2-169.|-|3.|-|的取值范围为3,+).【例2】已知函数.(1)求函数y=f(x)的图象在处的切线方程;(2)设实数a0,求函数F(x)=af(x)在a,2a上的最小值.解：(1)f(x)的定义域为(0,+)，又,，函数y=f(x)在处的切线方程为,即y=2e2x-3e.(2)a0,由，得x=e,当x(0,e)，F(x) 0;当x(e,+)时,F(x)0，F(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+)上单调递减.F(x)在a,2a上的最小值F(x)min=minF(a),F(2a).,当0a2时，F(a)-F(2a)0,F(x)min=F(a)=lna;当a2时，F(a)-F(2a)0,.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
