1、20192019 年度高三全国卷五省优创名校联考 数学（理科）第卷 一、选择题：本大题共 12 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 UR，集合 Mx|3x213x100和 Nx|x2k，kZ的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A1 个 B2 个 C3 个 D无穷个 2 34i34i1 2i1 2i A4 B4 C4i D4i 3如图 1 为某省 2019 年 14 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 14 月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是 A2019 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接
2、近 2019 万件 B2019 年 14 月的业务量同比增长率均超过 50，在 3 月最高 C从两图来看，2019 年 14 月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D从 14 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长 4设 x，y 满足约束条件60330 xyxxy，则11xyzx的取值范围是 A（，81，）B（，101，）C8，1 D10，1 5某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为 A4643 B644 C646 D648 6有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于 1000 的最小数值，则在空白的判断框内可以填
3、入的是 Ai6 Bi7 Ci8 Di9 7在直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 C：22221xyab（ab0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点，连接 PB 交 y 轴于点 E，连接 AE 交 PQ于点 M，若 M 是线段 PF 的中点，则椭圆 C 的离心率为 A22 B 12 C 13 D 14 8已知 f（x）为定义在 R 上的奇函数，g（x）f（x）x，且当 x（，0时，g（x）单调递增，则不等式 f（2x1）f（x2）x3 的解集为 A（3，）B3，）C（，3 D（，3）9函数 f（x）ln|x|x2x 的图象大致为 A B C
4、 D 10用 0 与 1 两个数字随机填入如图所示的 5 个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是 1 的个数不少于 0 的个数，则这样填法的概率为 A 532 B 516 C 1132 D 1116 11已知函数 f（x）3sin（x）（0，0），()03f，对任意 xR恒有()|()|3f xf，且在区间（15，5）上有且只有一个 x1使 f（x1）3，则 的最大值为 A 574 B1114 C1054 D1174 12设函数 f（x）在定义域（0，）上是单调函数，且(0,)x ，ff（x）exxe若不等式 f（x）f（x）ax 对 x（0，）恒成立，则 a 的
5、取值范围是 A（，e2 B（，e1 C（，2e3 D（，2e1 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题将答案填在答题卡中的横线上 13已知单位向量 a，b 的夹角为 60，则|2|_|3|abab 14已知正三棱柱 ABCA1B1C1的高为 6，AB4，点 D 为棱 BB1的中点，则四棱锥 CA1ABD的表面积是_ 15在（x22x3）4的展开式中，含 x6的项的系数是_ 16已知双曲线 C：22221xyab（a0，b0），圆 M：222()4bxay若双曲线 C 的一条渐近线与圆 M 相切，则当22224149aaa b取得最大值时，C 的实轴长为_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程
6、或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题 17设数列an的前 n 项和为 Sn，a13，且 Snnan1n2n（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足22121(1)nnnbn a，求bn的前 n 项和 Tn 18ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知22()2 3sinacbabC（1）求 B 的大小；（2）若 b8，ac，且ABC 的面积为3 3，求 a 19如图所示，在四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，其中 ABCD，ADC90，ADAS2，AB1，CD
7、3，且CECS（1）若23，证明：BECD；（2）若13，求直线 BE 与平面 SBD 所成角的正弦值 20在直角坐标系 xOy 中，动圆 P 与圆 Q：（x2）2y21 外切，且圆 P 与直线 x1 相切，记动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的轨迹方程；（2）设过定点 S（2，0）的动直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试问：在曲线 C 上是否存在点 M（与 A，B 两点相异），当直线 MA，MB 的斜率存在时，直线 MA，MB 的斜率之和为定值？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（x）exax2，g（x）xblnx若曲线 yf（x）在点（
8、1，f（1）处的切线与曲线 yg（x）在点（1，g（1）处的切线相交于点（0，1）（1）求 a，b 的值；（2）求函数 g（x）的最小值；（3）证明：当 x0 时，f（x）xg（x）（e1）x1（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为2,222xmtyt（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 C 的极坐标方程为 2cos232sin248，其左焦点 F 在直线l 上（1）若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求|FA|FB|的值；（2）求椭圆 C 的
9、内接矩形面积的最大值 23选修 45：不等式选讲 已知函数 f（x）|x2|ax2|（1）当 a2 时，求不等式 f（x）2x1 的解集；（2）若不等式 f（x）x2 对 x（0，2）恒成立，求 a 的取值范围 20192019 年度高三全国卷五省优创名校联考 数学参考答案（理科）1C 2D 3D 4A 5B 6B 7C 8B 9C 10B 11C 12D 131 142 394 336 1512 16 2 17解：（1）由条件知 Snnan1n2n，当 n1 时，a2a12；当 n2 时，Sn1（n1）an（n1）2（n1），得 annan1（n1）an2n，整理得 an1an2 综上可知，
10、数列an是首项为 3、公差为 2 的等差数列，从而得 an2n1（2）由（1）得2222211 11(22)4(1)nnbnnnn，所以22222221111111111(1)()()14223(1)4(1)44(1)nTnnnn 18解：（1）由22()2 3sinacbabC得22222 3sinacacbabC，所以22222 3sinacbacabC，即2(cos1)2 3sinacBabC，所以有sin(cos1)3sinsinCBBC，因为 C（0，），所以 sinC0，所以cos13sinBB，即 3sincos2sin()16BBB，所以1sin()62B 又 0B，所以666
11、B，所以66B，即3B（2）因为 113sin3 3222acBac，所以 ac12 又 b2a2c22accosB（ac）23ac（ac）23664，所以 ac10，把 c10a 代入到 ac12（ac）中，得513a 19（1）证明：因为23，所以23CECS，在线段 CD 上取一点 F 使23CFCD，连接 EF，BF，则 EFSD 且 DF1 因为 AB1，ABCD，ADC90，所以四边形 ABFD 为矩形，所以 CDBF 又 SA平面 ABCD，ADC90，所以 SACD，ADCD 因为 ADSAA，所以 CD平面 SAD 所以 CDSD，从而 CDEF 因为 BFEFF，所以 CD
12、平面 BEF 又 BE 平面 BEF，所以 CDBE（2）解：以 A 为原点，AD 的正方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A（0，0，0），B（0，1，0），D（2，0，0），S（0，0，2），C（2，3，0），所以142(,1,)333BEBCCEBCCS，(0,1,2)SB，(2,0,2)SD 设 n（x，y，z）为平面 SBD 的法向量，则00SBSD nn，所以200yzxz，令 z1，得 n（1，2，1）设直线 BE 与平面 SBD 所成的角为，则|2 174sin|cos,|29|BEBEBEnnn 20解：（1）设 P（x，y），圆 P 的半径为 r，因为
13、动圆 P 与圆 Q：（x2）2y21 外切，所以22(2)1xyr，又动圆 P 与直线 x1 相切，所以 rx1，由消去 r 得 y28x，所以曲线 C 的轨迹方程为 y28x（2）假设存在曲线 C 上的点 M 满足题设条件，不妨设 M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则2008yx，2118yx，2228yx，所以120210200120128(2)88()MAMByyykkyyyyyyyyy y，显然动直线 l 的斜率存在且非零，设 l：xty2，联立方程组282yxxty，消去 x 得 y28ty160，由0 得 t1 或 t1，所以 y1y28t，y1y216，且 y
14、1y2，代入式得02008(82)816MAMBtykkyty，令02008(82)816tymyty（m 为常数），整理得2000(864)(1616)0mytmyym，因为式对任意 t（，1）（1，）恒成立，所以0200864016160mymyym，所以024my或024my ，即 M（2，4）或 M（2，4），即存在曲线 C 上的点 M（2，4）或 M（2，4）满足题意 21（1）解：因为 f（x）ex2ax，所以 f（1）e2a，切点为（1，ea），所以切线方程为 y（e2a）（x1）（ea），因为该切线过点（0，1），所以 a1 又()1bg xx，g（1）1b，切点为（1，1），
15、所以切线方程为 y（1b）（x1）1，同理可得 b1（2）解：由（1）知，g（x）xlnx，11()1xg xxx，所以当 0 x1 时，g（x）0；当 x1 时，g（x）0，所以当 x1 时，g（x）取极小值，同时也是最小值，即 g（x）ming（1）1（3）证明：由（1）知，曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 y（e2）x1 下面证明：当 x0 时，f（x）（e2）x1 设 h（x）f（x）（e2）x1，则 h（x）ex2x（e2），再设 k（x）h（x），则 k（x）ex2，所以 h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，）上单调递增 又因为 h（0）3e，h（1）0
16、，0ln21，所以 h（ln2）0，所以存在 x0（0，1），使得 h（x0）0，所以，当 x（0，x0）（1，）时，h（x）0；当 x（x0，1）时，h（x）0 故 h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，）上单调递增 又因为 h（0）h（1）0，所以 h（x）f（x）（e2）x10，当且仅当 x1 时取等号，所以 ex（e2）x1x2 由于 x0，所以 e(e2)1xxxx 又由（2）知，xlnx1，当且仅当 x1 时取等号，所以，e(e2)11 lnxxxxx，所以 ex（e2）x1x（1lnx），即 exx2x（xlnx）（e1）x1，即 f（x）xg（x）
17、（e1）x1 22解：（1）将cos,sinxy代入 2cos232sin248，得 x23y248，即2214816xy，因为 c2481632，所以 F 的坐标为（4 2，0），又因为 F 在直线 l 上，所以4 2m 把直线 l 的参数方程24 2222xtyt 代入 x23y248，化简得 t24t80，所以 t1t24，t1t28，所以212121 2|()4164 84 3FAFBttttt t （2）由椭圆 C 的方程2214816xy，可设椭圆 C 上在第一象限内的任意一点 M 的坐标为（4 3cos，4sin）（02），所以内接矩形的面积8 3cos8sin32 3sin 2S，当4时，面积 S 取得最大值32 3 23解：（1）当 a2 时，4,2()|2|22|3,214,1xxf xxxxxxx ，当 x2 时，由 x42x1，解得 x5；当2x1 时，由 3x2x1，解得 x；当 x1 时，由x42x1，解得 x1 综上可得，原不等式的解集为x|x5 或 x1（2）因为 x（0，2），所以 f（x）x2 等价于|ax2|4，即等价于26axx，所以由题设得26axx在 x（0，2）上恒成立，又由 x（0，2），可知21x ，63x，所以1a3，即 a 的取值范围为1，3
