1、高考资源网（） 您身边的高考专家考向一 三角恒等变形1.讲高考（1） 考纲要求：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换（2）命题规律：1.预计2015年高考仍将在角的变换、角的范围方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；2.对三角恒等变换的考查力度可能会加大，对角的变换的考查，使问题更具有综合性，复习时需加强这方面的训练.例1【2014高考全国2卷文第14题】 函
2、数的最大值为_例2【2014高考大纲卷文第14题】函数的最大值为 .2.讲基础1巧记六组诱导公式对于“，的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限2. “死记”两组三角公式（1） 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2） 二倍角的正弦、余弦、正切公式3.讲典例【例1】【四川省泸州市2015届高三第一次教学质量诊断性考试，文6】若，则的值为（ ）A. B. C. D.【趁热打铁】【四川省成都七中2015届数学阶段性测试，文8】已知，则（ ）A B C D【例2】【江苏省泰兴市2015届高三（上）期中，文2】若，则【分析】利用诱导公式观察角与角之间的关系，再利用
3、诱导公式进行变形.【解析】【趁热打铁】【山西省山西大学附中中学2014-2015年高三第一学期10月月考，文5】若，则的值为（ ） A B C D4.讲方法三角恒等变形是指利用同角公式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式等对三角式进行各种有目的的变形.变形中主要涉及角、函数名、结构、运算方式的变形，其技巧常有化异为同、辅助角、三角代换、和差配凑、幂指变换等.三角恒等变形涉及范围广泛，包括三角式的化简、求值、恒等式的证明、三角不等式的证明等，熟练掌握同角公式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式，倍角公式，降幂公式，辅助角公式等是解决问题的前提.几个常见的变形切入点：可凑倍角公式；可用升次公式；可
4、化为，再用升次公式；或（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握.当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”常见的配角技巧：；.5.讲易错若函数的最大值为2，试确定常数的值 考向二 三角函数的图象和性质1. 讲高考（1）考纲要求：1.能画出，的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数的性质（如单调性、最大值和最小值以及与轴交点等），理解正切函数的性质；3.了解函数的物理意义：能画出的图象，了解参数，对函数图象变化的影响.（2）命题规律：1.预
5、计2015年高考仍将作为基础内容出现于综合题中，分值为5到12分；2.三角函数的周期性、单调性、有界性及图象的平移和伸缩变换，以函数性质为主的结合图象的综合题，在复习时应予以关注.例1.【2014高考安徽卷文第7题】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（ ）A. B. C. D.【答案】C例2 【2014高考江苏卷第5题】已知函数与函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是 .2. 讲基础函数的图象变换得到的图象的步骤（1）确定中的参数的方法：在由图象求解析式时，若最大值为，最小值为，则，由周期确定，即由求出，由特殊点确定（2）由的图象变换到的图象，两种变换的区
6、别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对而言，即本身加减多少值，而不是于加减多少值3.讲典例【例1】【成都外国语学校高2015届高三10月月考，文2】为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 【分析】利用三角函数图象平移的规律即可求解.【解析】，所以应该向左平移个单位长度，选A.【趁热打铁】【四川省成都七中2015届数学阶段性测试，文8】若函数，满足，则的值为（ ）A B C0 D 【
7、例2】【四川省成都外国语学校2015届高三11月月考，文6】若函数的图像向右平 移个单位后与原函数的图像关于轴对称，则的最小正值是 （ ）A B1 C2 D3 【趁热打铁】【四川省资阳市2015届高三第一次诊断性测试，文6】将函数的图象向右平移 ()个单位，所得图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 讲方法1.函数的图象的作法（1）五点法：用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取， ，来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象（2）图象变换法：由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”2.确定的步骤和方
8、法（1）求，确定函数的最大值和最小值，则，.（2）求，确定函数的周期，则可得.（3）求，常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与轴的交点)时；“第二点”(即图象的“峰点”)时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点)时；“第四点”(即图象的“谷点”)时；“第五点”时3.利用三角函数图象与轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的个最小正周期，可求解参数的值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数的值在求函数
9、值域时，由定义域转化成的范围，即把看作一个整体，再结合三角函数的图象求解5.讲易错函数的最小正周期与最大值的和为 .考向三 解三角形1.讲高考（1）考纲要求：1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.掌握运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（2）命题规律：1.预计2015年高考将以正弦、余弦定理的直接应用为主要考查目标，以解答题形式出现的可能性较大，难度以中档题为主；2.结合向量或几何知识构建综合性题目是可能的发展方向，复习时需加以关注.例1【2014高考江苏卷第14题】若的内角满足，则的最小值是 .例2【2014高考北京卷文第12
10、题】在中，则 ； .2.讲基础正弦定理(为ABC外接圆的直径)变形：，；，；.余弦定理，；推论：，；变形：，.应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷3.已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断3.讲典例【例1】【吉林实验中学2015届高三上学期第三次质量检测，文7】在中,若，,，则（ ）A. B. C. D.【趁热打铁】【曾都一中、枣阳一中、襄阳一中、宜城一中2014-2015学年高三期中考试，文4】在中，则角等于()A
11、B或 C D或【例2】【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练，文9】各角的对应边分别为，满足，则角的范围是（ ）A B C D【趁热打铁】【四川成都七中2015届高三上学期期中，文6】在中，若、分别为角、的对边，且，则有（ ） A.成等比数列 B.成等差数列 C.成等差数列 D.成等比数列4.讲方法判定三角形形状的两种常用途径：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角
12、，的范围对三角函数值的影响三角形面积公式的应用原则：（1）对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化5.讲易错已知中，内角所对的边分别为，且，若，则角B为（） A. B. C. D. 考向四 平面向量的数量积及其应用1.讲高考（1）考纲要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角.（2）命题规律：1.预计2015年高考仍将对向量的长度和角度进行重点考查，题型延续选择题或填空题形式，分值为
13、4到5分；2.运用向量的数量积处理其他数学问题是一种新的趋势，复习时需加以关注.例1.【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形中，已知，则的值是 .【答案】22【解析】由题意，例2.【2014高考山东卷文第7题】已知向量，.若向量，的夹角为，则实数=（ ）A. B. C.0 D.3. 讲基础1. 平面向量的坐标表示及运算一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标即：已知，则坐标表示：我们把有序数对叫做向量的坐标，记作坐标运算：已知， ， 2.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作，则叫与的夹角3.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量
14、叫与的数量积，记作，即有，并规定与任何向量的数量积为0 4.数量积的几何意义：“投影”的概念：作图 定义：叫做向量在方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当时投影为；当时投影为几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积5代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量与， ；（2）两个非零向量与，当与同向时，；当与反向时，（3）；（4），；（5）.6.运算律：交换律：分配律：，3.讲典例【例1】【广东省阳江市阳东县阳东一中、广雅中学2015届高三第一次，文7】已知向量，若()，则 （ ）. 【趁热打铁】【江西省抚州市临
15、川一中2015届高三10月月考，文5】已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若Ai（i=1，2，3，n）是该平面内的任一点，且有，则点Ai（i=1，2，3， n）在（）A过A点的抛物线上B过A点的直线上C过A点的圆心的圆上D过A点的椭圆上【例2】【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考，文14】已知，且，则 .【趁热打铁】 【浙江省桐乡第一中学等四校2015届高三上学期期中联考，文13】已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_.5. 讲方法本节问题涉及无非是向量的模（长度）、向量的夹角（三角形或多边形的内角或其补角）、数量积三个量的关系.这是向量数量积定义的灵魂，同时，数量积运算也是沟通实数
16、和向量的桥梁.1平面向量数量积的定义及几何意义；2平面向量数量积的运算律；3平面向量数量积的5个重要性质.5.讲易错已知，与的夹角为45，当向量与的夹角为锐角时，求实数的范围考向五 向量与三角形相结合1.讲高考（1）考纲要求：1.利用加法和减法的几何含义，以及一些具有几何含义的式子，进行化简、转化向量的计算.利用坐标运算，转化为代数问题；2.正确运用共线向量和平面向量的基本定理，去计算向量的模、两点的距离等.由于向量作为工具（2） 命题规律：1.给出三角形边相关的向量关系式，判断三角形的形状是一个热点题型；2.对给定的关系式恰当的去化简，变形，整理.最终能够说明三角形的形状.，复习时需加强这方
17、面的训练.例1【北京市东城区2014届高三上学期期末考试】在直角梯形中，,，点在线段 上，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.又，.例2【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】若等边的边长为，平面内一点满足，则（ ） A. B. C. D.2.讲基础如何利用向量的几何表示三角形的各种心向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：为的重心，特别地为的重心；是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；等于已知AD是中BC边的中线.为的垂心；是ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.
18、 的内心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线).，为的外心.向量与平行四边形相关的结论 向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形中，设，则有以下的结论：通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若,可判断四边形为平行四边形；若对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；对角线垂直.则平行四边形为菱形；说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；，特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).3. 讲典例【例1】【2014福建四地六校第三次月考数学】已知，是非零向量且满足，则的形状是（）A 等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形
19、 D等边三角形【趁热打铁】【重庆一中2014届高三上学期期末考试】已知三个向量，,共线，其中分别是的三条边及相对三个角，则的形状是（ ） A 等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形【例2】【黄冈市2013年秋季高三年级期末考试理科数学】已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【趁热打铁】【江西抚州一中2013-2014学年高三年级第四次同步考试】若是的重心，分别是角的对边，若，则角（ ） A. B. C. D.【分析】利用重心的性质结合向量加法的线性运算可得，从而再结合余弦定理可知.4.讲方法给出三角形边相关的向量关系式，判断
20、三角形的形状是一个热点题型.此类题的关键是对给定的关系式恰当的去化简，变形，整理.最终能够说明三角形的形状.常用的技巧有：（1）利用向量加减法的运算可以合并或分解.（2）利用拆、添、减项等技巧,对式子进行变形化简.（3）利用一些常见的结论进行判断. 常见的结论：（1） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,（2）给出，等于已知是的平分线（3）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（4） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（5）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（6） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（7）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（8）在中，给出等于已知通过的内心；（9）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（10） 在中，给出,等于已知是中边的中线. 5.讲易错已知是外接圆的圆心，、为的内角，若，则的值为 （ ）A.1 B.C. D.- 22 - 版权所有高考资源网
