1、 集合与函数（13）1、已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；，；，.（）若集合是集合的一个元基底，证明：；（）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.2、若集合具有以下性质：，；若，则，且时，.则称集合是“好集”.（）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；（）设集合是“好集”，求证：若，则；（）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题：若，则必有；命题：若，且，则必有；3、若为集合且的子集，且满足两个条件：；对任意的，至少存在一
2、个，使或.则称集合组具有性质.如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.（）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：；集合组2：.（）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合；（）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）4、已知函数在区间上为增函数，且。（1）当时，求的值；（2）当最小时，求的值； 若是图象上的两点，且存在实数 使得，证明：。 5、（本小题满分14分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线.
3、已知函数为自然对数的底，为常数）.()讨论函数的单调性；()设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.6、设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是 A=1且=0 BC=2且=2 D =2且=3 7、设，已知函数的定义域是，值域是，若函数g(x)=2x-1+m+1有唯一的零点，则（ ）A2 B C1 D0 8、已知函数，在定义域-2，2上表示的曲线过原点，且在x1处的切线斜率均为有以下命题：是奇函数；若在内递减，则的最大值为4；的最大值为，最小值为，则； 若对，恒成立，则的最大值为2其中
4、正确命题的个数为 A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个 11、设函数的最大值为，最小值为，那么 . 12、（本小题满分14分）已知函数（）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（）若恒成立，求实数的取值范围；（）当时，试比较与的大小关系13、对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若满足，则 的取值范围 1、解：（）不是的一个二元基底.理由是 ；是的一个二元基底. 理由是 ，.（）不妨设，则形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即.（）由（）可知
5、，所以.当时，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设为的一个4元基底，不妨设，则.当时，有，这时或.如果，则由，与结论*矛盾.如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底；或3,7,8,9,10；或4,7,8,9,10等，只要写出一个即可.综上，的最小可能值为5. 2、解：（）集合不是“好集”. 理由是：假设集合是“好集
6、”. 因为，所以. 这与矛盾.有理数集是“好集”. 因为，,对任意的，有，且时，.所以有理数集是“好集”.（）因为集合是“好集”，所以 .若，则，即.所以，即.（）命题均为真命题. 理由如下：对任意一个“好集”，任取， 若中有0或1时，显然.下设均不为0，1. 由定义可知：.所以 ，即.所以 . 由（）可得：，即. 同理可得.若或，则显然.若且，则.所以 .所以 由（）可得：.所以 .综上可知，即命题为真命题.若，且，则.所以 ，即命题为真命题. 3、（）解：集合组1具有性质.所对应的数表为：集合组2不具有性质.因为存在，有，与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质.（注：表
7、格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（）设所对应的数表为数表，因为集合组为具有性质的集合组，所以集合组满足条件和，由条件：，可得对任意，都存在有，所以，即第行不全为0，所以由条件可知数表中任意一行不全为0.由条件知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个1一个0，即第行与第行的第列的两个数一定不同.所以由条件可得数表中任意两行不完全相同.因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，所以.又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件，即具有性
8、质.所以.因为等于表格中数字1的个数，所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而时，在数表中，的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行； 的个数为的行最多行；因为上述共有行，所以还有行各有个，所以此时表格中最少有个.所以的最小值为. 4、解：。（1）当时，由，得或，所以在上为增函数，在，上为减函数，由题意知，且。因为，所以，可知。（2） 因为， 当且仅当时等号成立。由，有，得；由，有，得；故取得最小值时，。此时， 由知，欲证，先比较与的大小。因为，所以，有，于是，即，另一方面，因为，所以，从而，即。14分同理可证，因此。5、（本小题满分14分）解：（1），当时，即，
9、函数在区间上是增函数，在区间上是减函数；当时，函数是区间上的增函数 当时，即，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数.（2）若存在，则恒成立，令，则，所以，因此：恒成立，即恒成立，由得到：，现在只要判断是否恒成立，设，因为：，当时，当时，所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”. 6、D 7、C 8、B 11、4021 12、解：（）由，解得或， 函数的定义域为 当时， 在定义域上是奇函数。（）由时，恒成立， 在成立 令，由二次函数的性质可知时函数单调递增，时函数单调递减，时，（）= 证法一：设函数,则时，即在上递减，所以，故在成立，则当时,成立.证法二：构造函数， 当时，在单调递减，当（）时， 13、（1,5）10,20）
