1、21.1 合情推理研题型 学方法题型一 数，式中的归纳推理规律方法：进行数、式中的归纳推理的一般规律(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；运用归纳推理得出一般结论(2)数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式题型二 几何中的归纳推理根据下图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中
2、线段的条数为_解析：分别求出前4个图形中线段的数目，并加以归纳，发现规律，得出猜想图形中线段的条数分别为1，5，13，29.因为143223，583233，13163243，29323253.因此可以猜想第8个图形中线段的条数应为2813509.答案：509规律方法：图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化题型三 类比推理已知等差数列an的公差为d，前n项和Sn有如下性质：(1)通项公式anam(nm)d；(2)若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN
3、*)；(3)若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap；(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质分析：事物的各个性质间不是孤立的，而是相互联系、相互制约的等差数列与等比数列之间有着很多类似的性质，利用类比可得等比数列的性质解析：在等比数列bn中，公比为q，前n项和Sn.(1)通项公式bnbmqnm；(2)若mnpq，则bmbnbpbq(m，n，p，qN*)；(3)若mn2p(m，n，pN*)，则am an a；(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列规律方法：类比推理的一般步骤：(1)找相似：找出两类对象可以确切表达的相似特征
4、；(2)提猜想：用一类对象的已知特征，去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想；(3)验结论：检验这个猜想是否正确题型四 合情推理的应用设f(n)n2n41(nN*)，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(10)的值，同时作出归纳推理，并判断是否对所有nN*都成立分析：求出f(1)，f(2)，f(3)，f(10)的值后寻找它们的共同特征解析：f(1)1214143，f(2)2224147，f(3)3234153，f(4)4244161，f(5)5254171，f(6)6264183，f(7)7274197，f(8)82841113，f(9)92941131，f(10)1021041151.从中
5、知f(1)，f(2)，f(3)，f(10)的值都为质数，所以归纳得出猜想：f(n)n2n41的值为质数因为f(40)40240414141为合数，所以猜想f(n)n2n41的值为质数是错误的规律方法：归纳推理和类比推理的共同点：可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、推理、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理变式训练4.观察下列等式：(11)21，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此规律，第n个等式可为_解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘
6、式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)答案：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)析疑难 提能力类比不当致误.【典例】如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解析：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos【易错剖析】三角形中的内角类比到空间中可以是线面角，也可以是面面角，这里面面角应该合理些；三角形中的射影定理等式右边是边长与角的余弦值相乘，类比到空间中，应该是面积与面面角的余弦值相乘，而不是棱长与角的余弦值相乘这些类比的不确定性，要根据实际情况认真分析
