1、第3章空间向量与立体几何3.1.5 空间向量的数量积学习目标1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.栏目索引CONTENTS PAGE 1 预习导学挑战自我，点点落实2 课堂讲义重点难点，个个击破3 当堂检测当堂训练，体验成功43.1.5 空间向量的数量积预习导学挑战自我，点点落实知识链接空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？53.1.5 空间向量的数量积预习导引1.空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角
2、记法范围a，b.当a，b时，aba，b0，63.1.5 空间向量的数量积2.空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.73.1.5 空间向量的数量积(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)(R)交换律abba分配律a(bc)abac83.1.5 空间向量的数量积(3)数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则abab0若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|若为a，b的夹角，则cos|ab|a|b|93.1.5 空间向量的数量积课堂讲义重点难点，个个击
3、破要点一 空间向量的数量积运算例1已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：则|a|c|2，|b|4，abbcca0.103.1.5 空间向量的数量积113.1.5 空间向量的数量积规律方法计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算.123.1.5 空间向量的数量积跟踪演练1已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_.解析 abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，13133.1.5 空间向量的数量积要点二 利用数
4、量积求夹角例2如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值.143.1.5 空间向量的数量积153.1.5 空间向量的数量积规律方法利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；利用向量的数量积求角的大小；证两向量垂直可转化为数量积为零.163.1.5 空间向量的数量积跟踪演练2如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MNAB，MNCD.173.1.5 空间向量的数量积要点三 利用数量积求距离例3正
5、三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长.由题意知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90.183.1.5 空间向量的数量积11415，193.1.5 空间向量的数量积规律方法利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可.203.1.5 空间向量的数量积跟踪演练3如图所示,平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长
6、.213.1.5 空间向量的数量积因为BAD90，BAA1DAA160，223.1.5 空间向量的数量积当堂检测当堂训练，体验成功1 2 3 41.若 a，b均 为 非 零 向 量，则 ab|a|b|是 a与 b共 线 的_条件.解析 ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，当a与b反向时，ab|a|b|不能成立.充分不必要233.1.5 空间向量的数量积1 2 3 42.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于_.解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b2243.1.5 空间向量的数量积1 2 3 43.对 于 向 量 a、b、c和 实 数，下 列
7、命 题 中 的 真 命 题 是_.若ab0，则a0或b0；若a0，则0或a0；若a2b2，则ab或ab；若abac，则bc.253.1.5 空间向量的数量积1 2 3 4解析 对于，可举反例：当ab时，ab0；对于，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab；对于，abac可以移项整理推得a(bc).答案 263.1.5 空间向量的数量积1 2 3 44.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是_.273.1.5 空间向量的数量积1 2 3 4答案 283.1.5 空间向量的数量积课堂小结空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模.
