1、3.1.3 空间向量的数量积运算第三章空间向量与立体几何本节课主要学习空间向量夹角的概念及表示方法,空间向量数量积的运算性质及运算律.利用物理学中的功的计算方法导入新课。本节课是在学生已经掌握了平面向量数量积及性质的基础上探究空间向量数量积运算的定义、性质、运算律.通过比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；同时探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力.在充分了解平面向量的概念、运算及空间向量的概念、向量的加、减以及数乘向量等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向量的数量积的定义、性质并掌握空间向量数量积的应用.例1的实质是著名的三垂线定理，在以后的解题
2、中有着广泛的应用；例2是利用空间向量的数量积运算证明直线与平面垂直的判定定理。W=|F|s|cos根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度的问题.复习空间向量的数乘运算1共面向量2共面向量定理3判定空间中三点A、B、C共线的常用方法4OAB两空间向量的夹角：如图，已知两个非零向量，在空降任取一点O，作，则叫做向量的夹角，记作：注:两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.两个向量的数量积A1B1BA注：注：性质性质 是证明两向量垂直的依据；是证明两向量垂直的依据；性质性质 是求向量的长度（模
3、）的依据是求向量的长度（模）的依据.空间两个向量的数量积的性质注：注：向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.空间向量的数量积满足的运算律例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！典例展示证明：求证：在直线l上取向量,只要证如图,已知:为逆命题成立吗?同学们：你们能不能证明三垂线定理的逆定理吗？三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也
4、和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足则BCD是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定C分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.mng取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?mng1.向量a、b之间的夹角为30，且|a|3，|b|4，则ab_，a2_，b2_，(a2b)(ab)_.答案45通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：1.证明两直线垂直.2.求两点之间的距离或线段长度.3.证明线面垂直.4.求两直线所成角的余弦值等.课后练习课后习题
