1、3.4 生活中的优化问题举例（1）生活中的优化问题举例内容：生活中的优化问题应用:1.海报版面尺寸的设计2.圆柱形饮料罐的容积为定值时,所用材料最省问题3.饮料瓶大小对饮料公司利润有影响本课主要学习生活中的优化问题。以生活中的实际问题引入新课。本节课设计从易到难，由浅入深地发现身边的“数学”，特别是对采用一题多解，一题多变的变式教学，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。遵循“提出问题-分析问题-解决问题”的思维过程，注重引导学生，了解背景、思考推理、数学建模等活动。本课给出3个例题和变式，通过解决这些问题，培养学生数学建模的能力。采用例题与变式结合的方法，通过例1探讨如何设计海报的尺寸，使空白
2、面积最小；例2是饮料罐的容积为定值时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省；例3是饮料的利润最大问题通过这些问题的解决，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力.问题1:学校宣传海报比赛，要求版心面积128dm左右边距1dm上下边距2dm，请问你将如何设计？版心规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5问题2：下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.运用什么知识解决优化问题一
3、般地，若函数y=f(x)在a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则求f(x)的最值的步骤是：（1）求y=f(x)在a，b内的极值(极大值与极小值)；（2）将函数的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，则这个极值一定是最值。yoax1x2x3x4bx例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？图3.4-1分析：已知
4、版心的面积，你会如何建立函数关系表示海报四周的面积呢？你还有其他方法求这个最值吗？因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。解法二：由解法(一)得2.在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.1.设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义。练习1.一条长为的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为解：设两段铁丝的长度分别为x
5、,l-x,其中0 x0它表示 f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r时，f(r)0 它表示 f(r)单调递减，即半径越大，利润越低1.半径为cm 时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值。.半径为cm时，利润最大。图1.4-4由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案解决优化问题的一般步骤：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案。注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键。习题1.4 A组2,5,6必做题:1.已知:某商品生产成本与产量q的函数关系式为,价格p与产量q的函数关系式为,求产量 q 为何值时，利润 L 最大？选做题:分析:法一:这是一个几何最值问题,本题可用对称性技巧获得解决.法二:只要能把 AE+BE代数化,问题就易解决
