1、3.1.2复数的几何意义三维目标1知识与技能理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模2过程与方法渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力3情感、态度与价值观引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质重点难点重点：复数的几何意义及复数的模难点：复数的几何意义及模的综合应用树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度教学建议 建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活
2、动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识复数几何意义了解复数模的定义、作用、计算方法让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系，复数与向量的对应关系引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件学生自主完成求解过程，教师指导完善完成互动探究学生分组探究例题2解法，总结利用复数相
3、等条件求参数的规律方法完成变式训练完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法并进行反馈矫正归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法学生自主完成例题3互动探究，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法老师组织解法展示，引导学生总结解题规律课标解读1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系(重点)2理解复数模的概念，会求复数的模(难点)复平面【问题导思】1复数zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？【提示】一一对应2有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的
4、对应关系？【提示】一一对应3复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？【提示】一一对应建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的几何意义【问题导思】1平面直角坐标系中的点Z与向量有怎样的对应关系？【提示】一一对应2复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？【提示】一一对应(1)复数zabi(a，bR) 复平面内的点Z(a，b)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.为方便起见，我们常把复数zabi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数复数的模向量的模r叫做复数za
5、bi的模，记作|z|或|abi|，且r(r0，且rR). 复平面内的点同复数的对应关系例题1实数m取什么值时，复平面内表示复数z2m(4m2)i的点(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限【思路探究】找出复数z的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件【自主解答】复数z2m(4m2)i对应复平面内点的坐标P为(2m,4m2)(1)若P在虚轴上，则即m0.(2)若点P在第三象限，则解得m2.当点P位于第三象限时，实数m的范围是(，2)规律方法1复数zabi(a，bR)复平面内的点(a，b)2判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部互动探究在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m
6、.(1)在实轴上；(2)在直线yx上【解】(1)若点在实轴上，则4m20，即m2.(2)若点在直线yx上，则4m22m，解得m1.复数的模的求法例题2已知复数z满足z|z|28i，求复数z.【思路探究】设zabi(a，bR)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.【自主解答】法一设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得abi28i，解得z158i.法二原式可化为 z2|z|8i，|z|R，2|z|是z的实部，于是|z|，即|z|2684|z|z|2，|z|17.代入z2|z|8i得z158i.规律方法计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不
7、能比较大小，但它们的模可以比较大小变式训练求复数z168i及z2i的模，并比较它们的模的大小【解】|z1|10，|z2| ，|z1|z2|.复数的模及其几何意义例题3已知复数z1i，z2i，(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小(2)设复平面内，复数z满足|z2|z|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？【思路探究】(1)利用复数模的定义来求解若zabi(a，bR)，则|z|.(2)先确定|z|的范围，再确定点Z满足的条件，从而确定点Z的图形【自主解答】(1)|z1|2.|z2|1.21，|z1|z2|.(2)由(1)知|z2|z|z1|，则1|z|2.因为不等式|z|1的解集是圆|
8、z|1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环规律方法1两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小2复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解3|z1z2|表示点z1，z2两点间的距离，|z|r表示以原点为圆心，以r为半径的圆互动探究如果将本题中|z2|z|z1|，改为|z2|z|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？【解】|z2|z|z1|1|z|2，则复数z的轨迹为以原
9、点O为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界，注意区别. 因对复数的模理解不到位而导致错误典例试研究方程x25|x|60在复数集上解的个数【错解】将方程变为|x|25|x|60|x|2或|x|3x2或x3，故共有4个【错因分析】这里常出现将|x|看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x|是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x2也不能写成|x|2.【防范措施】(1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数(2)弄清复数的模与实数绝对值的区别(3)理解|z|的意义及|z|的计算方法(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解【正解】设xabi(a，bR)，则原方程可化为a2b2562
10、abi0或或即x2或x3或xi.故方程在复数集上的解共有6个课堂小结1复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应2研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑1(2013福建高考)复数z12i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】z12i在复平面内对应的点为(1，2)，它位于第三象限【答案】C2若(0，3)，则对应的复数为()A0 B3C3i D3【解析】由复数的几何意义可知对应的复数为3i.【答案】C3已知34ixyi(x，yR)，则|15i
11、|，|xyi|，|y2i|的大小关系为_【解析】由34ixyi(x，yR)，得x3，y4，而|15i|，|xyi|34i|5，|y2i|42i|.5，|y2i|xyi|15i|.【答案】|y2i|xyi|15i|4在复平面内指出与复数z11i，z22i，z3i，z43i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量【解】由题意知Z1(1，)，Z2(2，1)，Z3(0，1)，Z4(，3)如图所示，在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应的向量分别为，.一、选择题1过原点和i对应点的直线的倾斜角是()A.B C.D【解析】i在复平面上的对应点是(，1)，tan (00，方
12、程有两根，2t25t3的值可正可负，A、B不正确又t22t2(t1)210，D不正确，C正确【答案】C二、填空题6复数zlog3ilog3对应的点位于复平面内的第_象限【解析】log30，log30，z对应的点在第三象限【答案】三7若复数z135i，z21i，z32ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a_.【解析】设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，5)，P2(1，1)，P3(2，a)，由已知可得，从而可得a5.【答案】58已知复数z(x1)(2x1)i的模小于，则实数x的取值范围是_【解析】由题意得，5x26x80，(5x4)(x2)0，x2.【答案】(，2)三、解答题9在复
13、平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i的对应点，(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上试分别求实数m的取值范围【解】复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意，得m2m20，解得m2或m1.(2)由题意，得1m1，即m(1,1)(3)由已知，得m2m2m23m2，m2.10已知z1x2i，z2(x2a)i对任意的xR均有|z1|z2|成立，试求实数a的取值范围【解】|z1|，|z2|x2a|，且|z1|z2|，|x2a|对xR恒成立，等价于(12a)x2(1a2)0恒成立不等式等价于：解得a，a时，0x2(1)0恒成立或：解得1a.a
14、(1，)综上，可得实数a的取值范围是a|aR，且1a11如图311，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0,32i，24i，试求：图311(1)表示的复数，表示的复数；(2)所表示的复数；(3)设P为复平面上一点且满足|，求P点的轨迹方程【解】(1)，而对应的复数为32i，表示的复数为32i；.表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)设P(x，y)，|52i|，|，由|，得x2y229，即点P的轨迹方程为x2y229. 已知向量与实轴正向的夹角为45，向量对应的复数z的模为1，求z.【思路探究】设出zabi(a，bR)，列出关于a，b的方程组【自主解答
15、】设zabi(a，bR)与x轴正向的夹角为45，|z|1，或或zi或zi.规律方法解答本题易因不能正确的运用条件“向量与实轴正向的夹角为45”，而漏掉一解备选变式已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos 2，其中(0，)设对应的复数是z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线yx上，求的值【解】(1)点A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos 2，点A，B的坐标分别是A(sin2，1)，B(cos2，cos 2)，(cos2，cos 2)(sin2，1)(cos2sin2，cos 21)(1，2sin2)，对应的复数z1(2sin2)i.(2)由(1)知点P的坐标是(1，2sin2)，代入yx，得2sin2，即sin2，sin .又(0，)，sin ，或.
