1、数列的概念与简单表示法自主梳理1数列的定义按照_着的一列数叫数列，数列中的_都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是_的函数，数列的一般形式为：_，简记为an，其中 an 是数列的第_项1一定顺序排列 每一个数 定义域为 N*(或它的子集)a1，a2，a3，an，n 2通项公式：如果数列an的_与_之间的关系可以_来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的2.第 n 项 n 用一个公式 3数列有三种表示法：它们分别是_、_、_.解析法(通项公式或递推公式)列表法 图象法4数列的分类：数列按项数来分，分为_、_；按项的增减规律分为_、_、_和_递增数列an1
2、_an；递减数列an1_an；常数列an1_an.按其他标准分类有界数列存在正数 M，使|an|M摆动数列an 的符号正负相间，如 1，1,1，1，4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 5an 与 Sn 的关系：已知 Sn，则 an ，n1，n2.S1 SnSn11.对数列概念的理解(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性.因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列.(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现.(3)数列的项与项数：数列
3、的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.2.数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即 f(n)an(nN*).自我检测1设 ann210n11，则数列an从首项到第几项的和最大()A10B11C10 或 11D122.已知数列an的通项公式 ann156n(nN*)，则数列an的最小项是()A.a12B.a13C.a12 或 a13D.不存在3.在数列an中，a11，a25，an2an1an(nN*)，则 a100 等于()A.1B.1C.5D.54已
4、知数列an对任意的 p，qN*满足 apqapaq，且 a26，那么 a10 等于()A165B33C30D215已知数列1，85，157，249，按此规律，则这个数列的通项公式是()Aan(1)nn2n2n1Ban(1)nnn32n1Can(1)nn1212n1Dan(1)nnn22n36下列对数列的理解：数列可以看成一个定义在 N*(或它的有限子集1,2,3，n)上的函数；数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是唯一的其中说法正确的序号是()ABCD7.已知数列an的前 4 项为 1,3,7,15，写出数列an的一个通项公式为_ an2n1(nN*
5、)_.8.已知数列 2，5，2 2，根据数列的规律，2 5应该是该数列的第_7_项.9.若数列an的前 n 项和 Snn210n(n1,2,3，)，则此数列的通项公式为 an_.2n11_；数列nan中数值最小的项是第_项.10在数列an中，若 a11，a212，2an1 1an 1an2(nN*)，则该数列的通项 an_1n_.题型一 由数列的前几项归纳数列的通项公式探究点一 由数列前几项求数列通项例 1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)12，14，58，1316，2932，6164，；(4)32，1，7
6、10，917，；(5)0,1,0,1，.(6)23，415，635，863，1099，；解题导引 根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；解(1)符号问题可通过(1)n 或(1)n1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1)n(6n5).(2)将数列变形为89(10.1)，89(10.01)，89(10.001)，an891 110n.(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为2
7、32，原数列可化为21321，22322，23323，24324，an(1)n2n32n.(4)将数列统一为32，55，710，917，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn2n1，对于分母 2,5,10,17，联想到数列 1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为 cnn21，因此可得它的一个通项公式为 an2n1n21.(5)an0 n为奇数1 n为偶数 或 an11n2或 an1cos n2.(6)原数列为2221，22421，23621，24821，251021，an2n(2n)212n4n21.探究提高(1)据所给数列的前几项求其通项公式
8、时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；各项符号特征等，并对此应多进行对比分析、从整体到局部多角度观察、归纳、联想.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n 或(1)n1 来调整.变式训练 1 写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，；(2)12，2，92，8，252，；(3)2，5，2 2，11，；(4)3,5,7,9，；(5)12，34，78，1516，3132，；(6)1，32
9、，13，34，15，36，；(7)3,33,333,3 333，.解(1)a13211，a25221，a39231，an2n1.(2)将数列中各项统一成分母为 2 的分数，得12，42，92，162，252，观察知，各项的分子是对应项数的平方，数列通项公式是 ann22.(3)将数列各项统一成 f(n)的形式得2，5，8，11，；观察知，数列各项的被开方数逐个增加 3，且被开方数加 1 后，又变为 3,6,9,12，所以数列的通项公式是 an 3n1.(4)各项减去 1 后为正偶数，所以 an2n1.(5)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，所以 an2n12n.
10、(6)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 21，偶数项为 21，所以 an(1)n21nn.也可写为 an1n n为正奇数3nn为正偶数.(7)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，分母都是 3，而分子分别是 101,1021,1031,1041，所以 an13(10n1).题型二 已知数列的递推公式求通项公式例 2 根据下列条件，确定数列an的通项公式.(1)a12，an1ann；(2)an1an3n2，且 a12，(3)a11,2n1anan1
11、(n2)(4)a11，ann1n an1(n2)；(5)a11，an13an2；解(1)当 n1,2,3，n1 时，可得 n1 个等式，anan1n1，an1an2n2，a2a11，将其相加，得 ana1123(n1)ana1(1n1)(n1)22n(n1)2.(2)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n3n12(n2).当 n1 时，a112(311)2 符合公式，an32n2n2.(3)方法一 an anan1an1an2a3a2a2a1a1 12n1 12n2 122 121 1212(n1)12n(n1)2，an 12n(n1)
12、2.方法二 由 2n1anan1，得 an 12n1an1.an 12n1an1 12n1 12n2an2 12n1 12n2 121a1 12(n1)(n2)21 12n(n1)2(4)ann1n an1(n2)，an1n2n1an2，a212a1.以上(n1)个式子相乘得ana11223n1n a1n 1n.(5)an13an2，an113(an1)，an11an1 3，数列an1为等比数列，公比 q3，又 a112，an123n1，an23n11.探究提高 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现 anan1m 时，构造等差数列；当出现 anxan1y 时
13、，构造等比数列；当出现 anan1f(n)时，用累加法求解；当出现 anan1f(n)时，用累乘法求解.变式训练 2 根据下列条件，确定数列an的通项公式.(1)a12，an1anln11n.(2)a11，an1(n1)an；(3)在数列an中，a11，an1an2an1；(4)在数列an中，an13a2n，a13；(5)在数列an中，a12，an14an3n1；(6)在数列an中，a18，a22，且满足 an24an13an0.(7)数列an满足 an12an 0an12，2an112an0，在递推关系式两边取对数.有 lg an12lg anlg 3，令 bnlg an，则 bn12bnl
14、g 3，bn1lg 32(bnlg 3)，bnlg 3是等比数列，bnlg 32n12lg 32nlg 3，bn2nlg 3lg 3(2n1)lg 3lg an，an32n1.(5)由 an14an3n1，得 an1(n1)4(ann)，又 a111，所以数列ann是首项为 1，且公比为 4 的等比数列，ann(a11)4n1，an4n1n.(6)将 an24an13an0 变形为 an2an13(an1an)，则数列an1an是以 a2a16 为首项，3 为公比的等比数列，则 an1an63n1，利用累加法可得 an113n.题型三 由 an 与 Sn 的关系求通项 an例 3（1）已知数列
15、an的前 n 项和 Sn2n23n1，求an的通项公式解 当 n1 时，a1S12123110；当 n2 时，anSnSn1(2n23n1)2(n1)23(n1)14n5；又 n1 时，an4151a1，an0，n1，4n5，n2.（2）已知各项均为正数的数列an的前 n 项和满足 Sn1，且 6Sn(an1)(an2)，nN*.求an的通项公式.解 由 a1S116(a11)(a12)，解得 a11 或 a12，由已知 a1S11，因此 a12.又由 an1Sn1Sn16(an11)(an12)16(an1)(an2)，得 an1an30 或 an1an.因为 an0，故 an1an 不成立
16、，舍去.因此 an1an30.即 an1an3，从而an是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故an的通项为an3n1.探究提高(1)已知an的前 n 项和 Sn，求 an 时应注意以下三点：an 与 Sn 的关系式 anSnSn1 的条件是 n2，求 an 时切勿漏掉 n1，即 a1S1的情况由 SnSn1an 推得的 an，当 n1 时，a1 也适合“an 式”，则需统一“合写”.由 SnSn1an 推得的 an，当 n1 时，a1 不适合“an 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即 anS1 n1，SnSn1n2.(2)利用 Sn 与 an 的关系求通项是一个重要内容，应注意
17、 Sn 与 an 间关系的灵活运用.变式训练 3(1)已知an的前 n 项和 Sn3nb，求an的通项公式(2)已知在正项数列an中，Sn 表示前 n 项和且 2 Snan1，求 an.解(1)a1S13b，当 n2 时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当 b1 时，a1 适合此等式；当 b1 时，a1 不适合此等式当 b1 时，an23n1；当 b1 时，an3b(n1)23n1(n2).(2)由 2 Snan1，得 Snan122，当 n1 时，a1S1a1122，得 a11；当 n2 时，anSnSn1an122an1122，整理，得(anan1)(anan12)0，数列a
18、n各项为正，anan10.anan120.数列an是首项为 1，公差为 2 的等差数列ana1(n1)22n1.(3)设数列an的前 n 项和为 Sn，a11，anSnn 2(n1)(nN*).求证：数列an为等差数列，并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式；是否存在自然数 n，使得 S1S22 S33 Snn(n1)22 013？若存在，求出 n 的值；若不存在，请说明理由.解 由 anSnn 2(n1)，得 Snnan2n(n1)(nN*).当 n2 时，anSnSn1nan(n1)an14(n1)，即 anan14，数列an是以 a11 为首项，4 为公差的等差数列.于是，an4
19、n3，Sna1ann22n2n(nN*).由 Snnan2n(n1)，得Snn 2n1(nN*)，S1S22 S33 Snn(n1)21357(2n1)(n1)2n2(n1)22n1.令 2n12 013，得 n1 007，即存在满足条件的自然数 n1 007.题型四 用函数的思想方法解决数列问题数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.例 4 已知数列an.(1)若 ann25n4，数列中有多少项是负数？n 为何值时，an 有最小值？并
20、求出最小值.(2)若 ann2kn4 且对于 nN*，都有 an1an 成立.求实数 k 的取值范围.(1)求使 an0 的 n 值；从二次函数看 an 的最小值.(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式 f(n)n2kn4.f(n)在 N*上单调递增，但自变量不连续.解(1)由 n25n40，解得 1nan 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 ann2kn4，可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 nN*，所以k23.(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数 k 的取值范围，使问题得到解
21、决.(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.(3)易错分析：本题易错答案为 k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.(3)已知数列an的通项 an(n1)1011n(nN*)，试问该数列an有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由解 方法一 令n11011nn1011n1n11011nn21011n110n1011n11n1110n20 n10n9，n9 或 n10 时，an 最大，即数列an有最大项，此时 n9 或 n10.方法二 an1an(n2)1011n1(n1)1011n1011n9n11，当 n0，即 an1an；当
22、 n9 时，an1an0，即 an1an；当 n9 时，an1an0，即 an1an.故 a1a2a3a11a12，数列an中有最大项，为第 9、10 项有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用作差法，作商法，图象法求最大项时也可用 an 满足anan1anan1；若求最小项，则用 an 满足anan1anan1.数列实质就是一种特殊的函数，所以本题就是用函数的思想求最值方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n 或(1)n1 来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想
23、和转化的方法.2.强调 an 与 Sn 的关系：anS1 n1SnSn1n2.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an1panq”这种形式通常转化为 an1p(an)，由待定系数法求出，再化为等比数列；(3)逐差累加或累乘法.数列的概念与简单表示法一、选择题1.下列说法正确的是()A.数列 1,3,5,7 可表示为1,3,5,7B.数列 1,0，1，2 与数列2，1,0,1 是相同的数列C.数列n1n的第 k 项为 11k D.数列 0,2,4,6，可记为2n2.数列an中，a1a21，an2an1an
24、对所有正整数 n 都成立，则 a10 等于()A.34B.55C.89D.1003.如果数列an的前 n 项和 Sn32an3，那么这个数列的通项公式是()A.an2(n2n1)B.an32nC.an3n1D.an23n二、填空题4.已知数列an对于任意 p，qN*，有 apaqapq，若 a119，a36_4_.5.已知数列an的前 n 项和为 Sn，对任意 nN*都有 Sn23an13，且 1Sk0，解得 n6 或 na1a2a3a4；a5a6a7an1(nN*).数列an中的最大项为 a52，最小项为 a40.(2)an11a2n1112n2a2.对任意的 nN*，都有 ana6 成立，
25、并结合函数 f(x)112x2a2的单调性，52a2 6，10a8.9写出下列各数列的一个通项公式(1)112，223，334，445，；(2)1，32，13，34，15，36.9解(1)a1112，a2223，a3334，ann nn1(nN*)(2)a1211，a2212，a3213，a4214，an(1)n2(1)nn(nN*)10由下列数列an递推公式求数列an的通项公式：(1)a11，anan1n(n2)；(2)a11，anan1n1n(n2)；(3)a11，an2an11(n2)10解(1)由题意得，anan1n，an1an2n1，a3a23，a2a12.将上述各式等号两边累加得，
26、ana1n(n1)32，即 ann(n1)321n(n1)2，故 ann(n1)2.(2)由题意得，anan1n1n，an1an2n2n1，a3a223，a2a112.将上述各式累乘得，ana11n，故 an1n(3)由 an2an11，得 an12(an11)，又 a1120，所以 an1an112，即数列an1是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列所以 an12n，即 an2n111已知数列an的前 n 项和 Sn2n22n，数列bn的前 n 项和 Tn2bn.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设 cna2nbn，证明：当且仅当 n3 时，cn1cn.11(1)解 a1S14对于
27、 n2 有 anSnSn12n(n1)2(n1)n4n.a1 也适合，an的通项公式 an4n将 n1 代入 Tn2bn，得 b12b1，故 T1b11(求 bn 方法一)对于 n2，由 Tn12bn1，Tn2bn，得 bnTnTn1(bnbn1)，bn12bn1，bn21n(求 bn 方法二)对于 n2，由 Tn2bn 得Tn2(TnTn1)，2Tn2Tn1，Tn212(Tn12)，Tn221n(T12)21n，Tn221n，bnTnTn1(221n)(222n)21n.b11 也适合综上，bn的通项公式 bn21n.(2)证明 方法一 由 cna2nbnn225n，得cn1cn 1211n2当且仅当 n3 时，11n43 2，cn1cn 0，即 cn1cn方法二 由 cna2nbnn225n，得 cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22当且仅当 n3 时，cn1cn 0，即 cn1 cn.
