1、81向量的数量积81.1向量数量积的概念81.2向量数量积的运算律考点学习目标核心素养向量数量积的概念理解平面向量数量积的概念及其几何意义数学抽象投影的数量理解向量投影的数量的含义并会应用数学抽象向量数量积的运算律掌握数量积的运算律，并会利用其解决有关长度、夹角、垂直等问题数学运算、逻辑推理 问题导学预习教材P71P80，并思考以下问题：1向量数量积的物理背景是什么？2向量数量积的几何意义是什么？3向量数量积满足结合律吗？4向量夹角的范围是什么？1两个向量的夹角定义给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作a，b，则称0，内的AOB为向量a与向量b的夹角，记作a，b.范围0a，b特例a，b
2、0a与b同向a，ba与b反向a，ba与b垂直，记作ab，规定零向量与任意向量垂直2.向量数量积的定义(1)一般地，当a与b都是非零向量时，称|a|b|cosa，b为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)数量积的性质|ab|a|b|；aaa2|a|2，即|a|；a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即abab0；如果a与b都是非零向量，则cos a，b名师点拨(1)向量的数量积ab是一个实数，不考虑方向；数乘向量a是一个向量，既有大小，又有方向，这是二者的区别(2)ab表示两个向量的数量积，中间的“”不能省略，也不能写成“”3向量的投影与向量数量积的几何
3、意义(1)设非零向量a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A，B，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cosa，b为向量a在向量b上的投影的数量(3)向量数量积的几何意义：两个非零向量a, b的数量积ab，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积特别地，当e为单位向量时，ae|a|cosa，e，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影的数量. 4向量数量积的运算律已知向量a，b，c与实数，则交换律abba数乘向量的数
4、量积(a)ba(b)(ab)分配律(ab)cacbc名师点拨 (ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ab0，则a0或b0.()(2)若a，b共线ab|a|b|.()(3)若abbc，则一定有ac.()答案：(1)(2)(3) 已知|a|3，向量a与b的夹角为，则a在b上的投影的数量为()A.B.C. D.解析：选D.向量a在b上的投影的数量为|a|cos 3cos .故选D. 在ABC中，a，b，且ba0，则ABC是()A锐角三
5、角形 B钝角三角形C直角三角形 D无法确定解析：选C.在ABC中，因为ba0，所以ba，故ABC为直角三角形 如图，在ABC中，的夹角与，的夹角的关系为_解析：根据向量夹角定义可知向量，的夹角为BAC，而向量，的夹角为BAC，故二者互补答案：互补与向量数量积有关的概念(1)以下四种说法中正确的是_(填序号)如果ab0，则a0或b0；如果向量a与b满足ab0，则a与b所成的角为钝角；ABC中，如果0，那么ABC为直角三角形；如果向量a与b是两个单位向量，则a2b2.(2)已知|a|3，|b|5，且ab12，则a在b上的投影的数量为_，b在a上的投影的数量为_(3)已知等腰ABC的底边BC长为4，
6、则_【解析】(1)由数量积的定义知ab|a|b|cos (为向量a，b的夹角)若ab0，则90或a0或b0，故错；若ab0，则为钝角或180，故错；由0知B90，故ABC为直角三角形，故正确；由a2|a|21，b2|b|21，故正确(2)设a与b的夹角为，则有ab|a|b|cos 12，所以向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos ；向量b在向量a上的投影的数量为|b|cos 4.(3)如图，过点A作ADBC，垂足为D.因为ABAC，所以BDBC2，于是|cosABC|42，所以|cosABC428.【答案】(1)(2)4(3)8(1)在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“
7、”连接，更不能省略不写(2)求平面向量数量积的方法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影的数量，可利用数量积的几何意义求ab.给出下列判断：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；a，b共线ab|a|b|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角；若a，b的夹角为，则|b|cos 表示向量b在向量a方向上的射影长其中正确的是_(填序号)解析：由于a20，b20，所以，若a2b20，则ab0，故正确；若ab0，则ab，又a，b，c是三个非零向量，所以acbc，所以|ac|bc|，正确；a，b共
8、线ab|a|b|，所以不正确；对于应有|a|b|ab，所以不正确；对于，应该是aaa|a|2a，所以不正确；a2b22|a|b|2ab，故正确；当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错；|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影的数量，故错综上可知正确答案：向量数量积的运算(1)已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)(2)如图，在ABCD中，|4，|3，DAB60，求：；.【解】(1)(a2b)(a3b)aa5ab6bb|a|25ab6|b|2|a|25|a|b|cos 606|b|262564cos 60642192.(2)因为，且方向相同，所以与的夹角是0，所
9、以|cos 03319.因为与的夹角为60，所以与的夹角为120，所以|cos 120436.变问法本例(2)的条件不变，求.解：因为，所以()()229167.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算 已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_解析：由题设知|e1|e2|1且e1e2，所以b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e3286.答案：6利用数量积解决长度、垂直及夹角问题
10、(1)已知|a|b|5，a，b，求|ab|，|ab|；(2)已知a，b是两个非零向量若|a|3，|b|4，|ab|6，求a与b的夹角；若|a|b|ab|，求a与ab的夹角【解】(1)因为ab|a|b|cosa，b55，所以|ab|5.|ab|5.(2)因为ab|a|b|cosa，b，所以|ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b|6.又因为|a|3，|b|4，所以|cosa，b|.所以cosa，b.因为a，b0，所以a与b的夹角为或.如图所示，在平面内取一点O，作a，b，以，为邻边作平行四边形OACB，使|，所以四边形OACB为菱形，OC平分AOB，这时ab，ab，由于|a|b|ab|
11、，即|，所以AOC，即a与ab的夹角为.(1)求模问题一般转化为求模平方，灵活应用aa|a|2，勿忘记开方(2)求向量夹角问题应用数量积的变形公式cos ，一般要求两个整体ab，|a|b|，不方便求出的，要寻求两者关系，转化条件解方程组已知x1是方程x2|a|xab0的根，且a24，a，b120，求向量b的模解：因为a24，所以|a|24，所以|a|2.把x1代入方程x2|a|xab0，得1|a|ab0，所以ab3，则ab|a|b|cosa，b2|b|cos 1203，所以|b|3，即向量b的模为3.平面向量数量积的综合应用已知非零向量a，b满足a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b互相垂直，
12、求a与b的夹角【解】由已知条件得，即得23b246ab0，所以2abb2，代入得a2b2，所以|a|b|，所以cosa，b.因为a，b0，所以a，b，即a与b的夹角为.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角及长度等几何问题 已知a，b是非零向量，当atb(tR)的模取最小值时，(1)求t的值；(2)已知a与b共线同向，求证：b(atb)解：(1)|atb|2a22tabt2b2，即|atb|2b2t22abta2，所以当t时，|atb|有最小值(2)证明：因为a与b共线同向，所以ab|a|b|，所以t，所以b(atb)abt|b|2|a|b|a|b|0.所以b(atb)1已知点A，B，
13、C满足|3，|4，|5，则的值是()A25B25C24 D24解析：选A.因为|2|291625|2，所以ABC90，所以原式()0225.2(2019高考全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：选B.设a与b的夹角为，因为(ab)b，所以(ab)b0，所以abb2，所以|a|b|cos |b|2，又|a|2|b|，所以cos ，因为0，所以.故选B.3已知|a|4，e为单位向量，a在e上的投影的数量为2，则a与e的夹角为_解析：因为a在e上的投影的数量为2，即|a|cosa，e2，所以cosa，e，又a，e0，所以a，e120
14、.答案：1204已知ab20，|a|5，求b在a上的投影的数量解：设a，b的夹角为，则b在a上的投影的数量就是|b|cos ，因为|a|b|cos ab20，所以|b|cos 4，即b在a上的投影的数量为4. A基础达标1若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为60，则aaab等于()A.B.C1 D2解析：选B.aaab|a|2|a|b|cos 601.2已知单位向量a，b的夹角为，那么|a2b|()A2 B.C2 D4解析：选B.|a|b|1，|a2b|2a24ab4b21411417，所以|a2b|.3若向量a，b，c，满足ab且ac，则c(a2b)()A4 B3C2 D0解析：选D
15、.因为ab，ac，所以bc，所以ac0，bc0，c(a2b)ac2bc000.4已知平面向量a，b是非零向量，|a|2，a(a2b)，则向量b在向量a上的投影的数量为()A1 B1C2 D2解析：选B.因为a(a2b)，所以a(a2b)a22ab|a|22ab42ab0，所以ab2，所以向量b在向量a上的投影的数量为1.5已知非零向量a，b满足2|a|3|b|，|a2b|ab|，则a与b的夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C.|a2b|ab|(a2b)2(ab)2abb2cosa，b.6已知|a|3，|b|5，且a与b的夹角为45，则向量a在向量b上的投影的数量为_解析：由已知得向
16、量a在向量b上的投影的数量为|a|cos 3.答案：7已知向量|a|，ab10，|ab|5，则|b|_解析：因为|a|25，|ab|5，所以|ab|250，即|a|2|b|22ab50，所以5|b|22050，所以|b|5.答案：58若a，b均为非零向量，且(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为_解析：设a，b的夹角为，由题知(a2b)a0，(b2a)b0，即|a|22ba|a|22|a|b|cos 0，|b|22ba|b|22|a|b|cos 0，故|a|2|b|2，即|a|b|，所以|a|22|a|a|cos 0，故cos ，因为 0，故.答案：9已知两个单位向量a，b的夹角为60，
17、cta(1t)b.若bc0，求t的值解：因为bc0，所以bta(1t)b0，即tab(1t)b20，又因为|a|b|1，a，b的夹角为60，所以t1t0，所以t2.10已知非零向量a，b满足|a|1，且(ab)(ab).(1)求|b|；(2)当ab时，求向量a与a2b的夹角的值解：(1)因为(ab)(ab)，即a2b2，即|a|2|b|2，所以|b|2|a|21，故|b|.(2)因为|a2b|2|a|24ab|2b|21111，故|a2b|1.又因为a(a2b)|a|22ab1，所以cos ，又0，故.B能力提升11已知平面向量a，b都是单位向量，若b(2ab)，则a与b的夹角等于()A.B.
18、C.D.解析：选C.设向量a，b的夹角为，因为b(2ab)，所以b(2ab)2abb2211cos 120，解得cos ，又0，所以，即a与b的夹角为，故选C.12如图，在ABC中，ADAB，|1，则等于()A2 B. C. D.解析：选D.|cosDAC|cos|sinBAC|sin B|sin B|.13设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b不与c垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的序号是_解析：根据向量数量积的分配律知正确；因为(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)
19、0，所以(bc)a(ca)b与c垂直，错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|ab|组成三角形的三边，所以|a|b|ab|成立，正确；正确故正确命题的序号是.答案：14已知两个非零向量a，b，夹角120，且(a3b)(7a5b)，问是否存在实数，满足(a4b)(ab)?解：由(a3b)(7a5b)，得(a3b)(7a5b)0.即7|a|215|b|216ab0.由(a4b)(ab)，得(a4b)(ab)0，即|a|24|b|2(14)ab0，又ab|a|b|cos 120|a|b|，把代入得|a|b|，把代入得(4)|a|20.因为|a|0，所以40，即.故存在实数，使(a4b)(ab)C拓展探究15在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且6，求与夹角的余弦值解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以0，由2，得，.所以22368118.(2)由题意，所以22361818.又6，所以186，所以36.设与的夹角为，又|cos 96cos 54cos ，所以54cos 36，即cos .所以与夹角的余弦值为.
