1、第2章 平面向量2.4 向量的数量积一.问题情境:情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？其中力和位移 是向量，是 与 的夹角，而功 W是数量.情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？Fs1两个非零向量夹角的概念（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点的.范围0180已知非零向量a与，作a，则叫a与的夹角.=（0）（2）当时，a与反向；（3）当/2时，a与垂直，记a；abObaO说明：（1）当0时，a与同向；如图,等边三角形ABC中,求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变
2、成共起点！D2平面向量数量积（内积）的定义：探究：两个向量的数量积与向量数乘有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。已知两个非零向量a与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫a与的数量积，记作ab，即有ab=|a|b|cos，（）.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.规定0与任一向量的数量积为0。（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中，若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？（4）由ab=bc 能否推出a=c？(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)
3、c a(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。即：0 a=03.两个向量的数量积的性质：0两向量均为非零向量4.运算律：acbc(1)a b=b a(3)(ab)c=(2)(交换律)(分配律)例1 判断正误，并简要说明理由.a00；0a0；0；aa；若a0，则对任一非零有a0；a0，则a与中至少有一个为0；对任意向量a，都有（a）a(）；a与是两个单位向量，则a.例1 判断正误，并简要说明理由.a00；0a0；0；aa；若a0，则对任一非零有a0；a0，则a与中至少有一个为0；对任意向量a，都有（a）a(）；a与是两个单位向量，则a.应用数学:例
4、2.|a|=2，|b|=5，a与b的夹角为600，求：(2)(a+2b)(a-3b)(3)(a+b)2(4)|a+b|分析:aa=|a|2（简写a2=|a|2）性质（1）（2）探究:下列等式成立吗?（3）()()()夹角的范围运算律性 质数量积(3)(ab)c=acbc aa=|a|2（简写 a2=|a|2）知识回顾:(2)(1)a b=b a(交换律)(分配律)我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用1、平面向量数量积的坐标表示如图，是x轴上的单位向量，是y轴上的单位向量，由于所以xyoB(x2,y2)A(x1,y1).110下面研究怎样用设两个非零向量=(x1,y1
5、),=(x2,y2),则故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即xoB(x2,y2)A(x1,y1)y根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。2、向量的模和两点间的距离公式（1）垂直3、两向量垂直和平行的坐标表示（2）平行4、两向量夹角公式的坐标运算基本技能的形成与巩固 例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y 练习2：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.yBAOx逆向及综合运用例3（1）已知=（4，3），向量是垂直于的单位向量，求.提高练习2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是.矩形3、已知=(1，2)，=(-3，2)，若k +2 与 2 -4 平行，则k=.-1小结 、理解各公式的正向及逆向运用；、数量积的运算转化为向量的坐标运算；、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。
