1、第二章平面向量2.1.5 向量共线的条件和轴上向量的坐标运算人教B版必修4向量共线的条件与轴上向量坐标运算引入：在学习向量概念时，我们们已给出向量共线的概念：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或互相平行。应注意，这里说的向量平行包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同向量共线的条件由向量平行和向量数乘的定义可以推知：平行向量基本定理如果，则；反之，如果()，则存在一个实数，使为什么要求如果则如果则，如果的长度是长的一半，并且方向相反，则给定一个非零向量，与同方向且长度等于1的向量，叫做向量的 单位向量单位向量。1或如果向量的单位向量记作，由数乘向量定义可知单位向量巩 固
2、 练 习判断下列命题是否正确（）（）（）（1）向量与向量平行，则向量与向量方向相同或相反。（2）向量与向量是共线向量则A、B、C、D四点必在一条直线上。（3）若干个向量首尾相连，形成封闭图形则这些向量的和等于零向量。（4）起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等向量。（）CABMN证明：M、N分别是 AB、AC边上的中点例题讲解（一）例1、如图所示，、是的中位线。求证：,且例题讲解（二）例2、已知试问向量与向量是否平行并求解：由得，代入得因此，与平行且定理的实质是向量相等，即存在唯一实数使，应从向量的大小和方向两个方面理解，借助实数沟通了两个向量与的联系轴上向量坐标运算轴上向量坐标运算轴
3、的概念规定了方向和长度单位的直线叫做轴已知轴取单位向量,使的方向与同方向，根据平行的条件，对于轴上任意向量 一定存在唯一数，使反过来，任意给定一个实数，我们总能作一个向量，使它的长度等于这个实数的绝对值，方向与实数的符号一致。轴和数轴的区别想一想当与同方向时，是正 数当与反方向时，是负数给定一向量能生成与它平行的所有向量的集合这里的向量叫做轴的基向量。叫做在上的坐标（或数量）（其中）轴上两个向量相等的条件是他们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。设于是，得如果则反之，如果，则OABC设是轴上的一个基向量,显然，与绝对值相同，符号相反，即因为所以Ox设 向量平行于轴，以原点
4、为始点作则点的位置被向量所唯一确定，由平行向量基本定理知，存在唯一的实数使，数值是点的位置向量在轴上的坐标，也就是点在轴上的坐标。Px在数轴上，已知点的坐标为，点的坐标为即数轴上两点距离公式为oA30BP于是得到例题讲解三例3、已知数轴上三点A、B、C的坐标分别是4、-2、-6，求的坐标和长度。O4-2-6解：基础知识形成性练习1、把下列向量表示为数乘向量的形式（1）（2）（3）（4）得（1）由（2）由得（3）由得（4）由得答案：2、已知：在中，求证：，并且因为所以AMNCB3、在数轴上，已知求（1）（2）（3）（4）(1)AB+BC=AC AC=3+5=8 (2)AC=AB+BC=5+(-7
5、)=-2 (3)AC=AB+BC=(-8)+23=15 (4)AC=AB+BC=-7+(-8)=-154、已知数轴上三点、的坐标分别为求、的坐标和长度设、的坐标分别为 提提 高高 练练 习习已知两个非零向量和不共线，如果求证：三点共线向量与向量共线，且有共同起点故三点共线。解：变式引申已知非零向量和不共线，欲使和共线，是确定的值。解：因为和共线所以存在实数，使则由于与不共线，只能有，则开放创新已知向量，其中不共线，向量问是否存在这样的实数，使向量与共线？解：假设存在这样的实数使与共 线，要使与共线，则应有实数，使即由得故存在这样的使与共线数学与日常生活某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到
6、风从正北方吹来，而当速度为2a公里时，感到风从东北方向吹来，试问实际风速和风向。解:设表示人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量。在无风时此人感到的风速为。设实际风速为,那么此人所感到的风速向量为.设，由于从而BOPA这就是感到从正北方向吹来得风速。由于，从而于是，当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是由题意，得从而为等腰直角三角形，故即答：实际吹来的风是风速为的西北风。小结回顾向量共线的实质是向量相等，即存在唯一的实数使=定理内容本节课主要运用了直观、类比、特殊到一般的思维方法。同学们要认真体会这些思维方法，提高理性思维的能力。轴上向量的坐标运算给出了数轴上两点的坐标公式和向量的坐标运算公式。定义了轴上两个向量求和的公式。应用定理为解决三点共线和直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找唯一实数，使两向量相等，把向量平行的问题转化 为寻求实数使向量 相等问题。实质
