1、第二课时利用导数研究函数的极值与最值【选题明细表】知识点、方法题号导数研究函数的极值2,3,4,5,7,11导数研究函数的最值4,6导数研究函数的极值与最值综合问题9综合问题1,8,10基础巩固(建议用时:25分钟)1.(2018四川遂宁一诊)若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=2处有极值,则ab的最大值等于(C)(A)121(B)144(C)72 (D)80解析:由题意,f(x)=12x2-2ax-2b,因为在x=2处有极值,所以f(2)=0,即2a+b=24,因为a0,b0,所以2ab()2=144,当且仅当2a=b时取等号,所以ab的最大值等于72.故选C.2.
2、(2018河南豫南九校高三联考)已知函数f(x)=2f(1)ln x-x,则f(x)的极大值为(B)(A)2(B)2ln 2-2 (C)e (D)2-e解析:f(x)=2f(1)ln x-x,则f(x)=-1,令x=1得f(1)=2f(1)-1,所以f(1)=1,则f(x)=2ln x-x,f(x)=-1=,所以函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减,则f(x)的极大值为f(2)=2ln 2-2,故选B.3.(2018广东东莞市高考模拟)若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则(A)(A)f(x)有极大值-1(B)f(x)有极小值-1(C)f(x)有极大值0(D)
3、f(x)有极小值0解析:因为f(x)=ax+ln x,x0,所以f(x)=a+,因为x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,所以f(1)=a+1=0,解得a=-1.所 以f(x)=-1+=,所 以f(x)在 (0,1)单调递增,在(1,+)单调递减,所以f(x)极大值=f(1)=-1,无极小值.故选A.4.(2018山东烟台市高考一模)某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里,垂足为B,海岸线上距离B处100海里有一原油厂C,现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍,要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低,则中转站M到B处的距
4、离应为(B)(A)5海里(B)海里(C)5海里 (D)10海里解析:设MB=x海里,在陆地上修建管道每海里费用为a元,则在海上修建管道每海里费用为3a元,修建总费用为y,则y=a(100-x)+3a=a(100-x+3),令f(x)=100-x+3(0x100),则f(x)=-1+,所以当0x时,f(x)0,当x0,所以当x=时,f(x)取得最小值,故而y取得最小值.故选B.5.已知函数f(x)=xln |x|+1,则f(x)的极大值与极小值之和为(D)(A)0(B)1(C)2- (D)2解析:当x0时,函数f(x)=xln x+1,则f(x)=ln x+1,令ln x+1=0解得x=,0x,
5、f(x)时,f(x)0,函数是增函数,x=时函数取得极小值1-;当x0时,函数f(x)=xln (-x)+1,则f(x)=ln (-x)+1,令ln (-x)+1=0,解得x=-,-x0,f(x)0,函数是减函数,当x0,函数是增函数,x=-时函数取得极大值1+;函数的极值的和为2.故选D.6.(2018海南八校联考)已知函数f(x)=3ln x-x2+(a-)x在区间(1,3)上有最大值,则实数a的取值范围是(B)(A)(-,5)(B)(-,)(C)(,)(D)(,5)解析:因为f(x)=-2x+a-,所以由题设f(x)=-2x+a-在(1,3)上单调递减且只有一个零点,则问题转化为即-a.
6、故选B.7.(2018云南玉溪模拟)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则c=.解析:因为f(x)=(x-c)2+2x(x-c)=3x2-4cx+c2,且函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,所以f(2)=0,即c2-8c+12=0,解得c=6或2.经检验c=2时,函数f(x)在x=2处取得极小值,不符合题意,应舍去.故c=6.答案:68.(2018江苏盐城中学高考模拟)若函数f(x)=mx2+2cos x+m(mR)在x=0处取得极小值,则实数m的取值范围是.解析:函数f(x)=mx2+2cos x+m的导数为f(x)=2mx-2sin x,由于函数f(x)在x=0
7、处取得极小值,则f(0)=0显然成立,令g(x)=f(x),由于x=0是函数f(x)的极小值点,则x=0左侧附近,f(x)0,即g(x)0,即g(x)0.则g(x)=2m-2cos x,g(0)=2m-20,解得m1.答案:1,+)能力提升(建议用时:25分钟)9.(2018四川资阳市高考模拟)已知函数f(x)=ln x,它在x=x0处的切线方程为y=kx+b,则k+b的取值范围是(D)(A)(-,-1(B)(-,0(C)1,+)(D)0,+)解析:函数f(x)=ln x的导数为f(x)=,则有f(x0)=,即k=,又由切点的坐标为(x0,ln x0),则切线的方程为y-ln x0=k(x-x
8、0),变形可得y=kx-kx0+ln x0,则有b=ln x0-1.因此k+b=(ln x0-1)+.设g(x)=(ln x-1)+,则有g(x)=-=,因此在区间(0,1)上,g(x)0,g(x)为增函数,则g(x)的最小值为g(1)=0,则有k+b=(ln x0-1)+0,即k+b的取值范围是0,+);故选D.10.(2018四川 遂宁一 诊)设 函数f(x)=x2-2ax(a0)与g(x)=a2ln x+b有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b的最大值为.解析:设公共点坐标为(x0,y0),则f(x)=3x-2a,g(x)=,所以有f(x0)=g(x0),即3x0-2a=,解得x
9、0=a(x0=-舍去),又y0=f(x0)=g(x0),所以有-2ax0=a2ln x0+b,故b=-2ax0-a2ln x0,所以有b=-a2-a2ln a,对b求导有b=-2a(1+ln a),故b关于a的函数在(0,)上为增函数,在(,+)上为减函数,所以当a=时,b有最大值.答案:11.已知函数f(x)=(x-2)(ex-ax).当a0时,讨论f(x)的极值情况.解:(1)f(x)=(ex-ax)+(x-2)(ex-a)=(x-1)ex-2a(x-1)=(x-1)(ex-2a).因为a0,由f(x)=0得,x=1或x=ln 2a.当a=时,f(x)=(x-1)(ex-e)0,f(x)单调递增,故f(x)无极值.当0a时,ln 2a时,ln 2a1,x,f(x),f(x)的关系如下表:x(-,1)1(1,ln 2a)ln 2a(ln 2a,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增故f(x)有极大值f(1)=a-e,极小值f(ln 2a)=-a(ln 2a-2)2.综上:当0a时,f(x)有极大值a-e,极小值-a(ln 2a-2)2.
