1、第二节 命题及其关系、充分条件与 必要条件 1.命题 概念使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的 _特点(1)能判断真假.(2)_分类(1)_.(2)_陈述句 陈述句 真命题 假命题 2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系:若q,则p 若p,则q 若q,则p(2)四种命题中的等价关系:原命题等价于_,否命题等价 于_,在四种形式的命题中真命题的个数只能是0或2或4.逆否命题 逆命题 3.充要条件(1)相关概念:若pq,则p是q的_条件,q是p的_条件p是q的_条件pq且q pp是q的_条件p q且qpp是q的_条件pqp是q的_条件p q且q p充分 必要 充分不必要 必要不
2、充分 充要 既不充分也不必要(2)集合与充要条件:p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分不必要条件A是B的_p是q的必要不充分条件B是A的_p是q的充要条件_p是q的既不充分也不必要条件A,B互不_真子集 真子集 A=B 包含 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)若原命题“若p,则q”为真,则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数是1.()(2)已知命题“若p成立且q成立,则r成立”,则其逆否命题是“若r不成立,则p不成立且q不成立”.()(3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()(4)已知集合A,B,则AB
3、=AB的充要条件是A=B.()【解析】(1)错误.原命题为真时,如果逆命题也为真,则否命题、逆否命题均为真.(2)错误.“p成立且q成立”的否定是“p不成立或者q不成立”.(3)正确.根据命题与其逆否命题等价可得.(4)正确.充分性是显然的,只要结合Venn图即可判定必要性.答案:(1)(2)(3)(4)1.有以下命题:集合N中最小的数是1;若-a不属于N,则a属于N;若aN,bN,则a+b的最小值为2;x2+1=2x的解可表示为1,1.其中真命题的个数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选A.假命题,集合N中最小的数是0;假命题,如a=;假命题,如a=0,b=0;假命题,1,
4、1与集合元素的互异 性矛盾.122.有以下命题:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;“全等三角形的面积相等”的否命题;“若q1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题为()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,为真命题;的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”,为假命题;的逆否命题是“若x2+2x+q=0没有实根,则q1”,为真命题;的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”,为假命题.3.命题“若x21,则-1x1”的逆否命题是()(A)若x21,则x1或x-1(B)若-1x1
5、,则x21或x1(D)若x1或x-1,则x21【解析】选D.其逆否命题是:若x1或x-1,则x21.4.已知p:-4k0,q:函数y=kx2-kx-1的值恒为负,则p是q成立 的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A.-4k0k0,=k2+4k0;函数y=kx2-kx-1的值 恒为负,不一定有-4k0且b0”是“a+b0且ab0”的 ()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选C.条件显然是充分的;当a+b0且ab0时,根据ab0可得a,b同号,在a+b0下,a,b同号只能同时大于零
6、,条件是必要的.考向 1 命题及其相互关系【典例1】(1)(2012湖南高考)命题“若=,则tan=1”的逆否命题是()(A)若 ,则tan 1(B)若=,则tan 1(C)若tan 1,则 (D)若tan 1,则=44444(2)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题 是()(A)若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数(B)若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数(C)若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数(D)若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数【思路点拨】(1)把否定的结论作条件、否定的条件作结论即可得出.(2)条件的否定作条件、结论的否定作结论即可得出
7、.【规范解答】(1)选C.原命题的逆否命题是“若tan1,则 ”,故选C.(2)选B.条件的否定是“f(x)不是奇函数”,结论的否定是“f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若f(x)不是 奇函数,则f(-x)不是奇函数”.4【拓展提升】1.一些词语及其否定 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 2.否定的方法 在根据原命题构造其否命题和逆否命题时,首先要把条件和结论分清楚,其次把其中的关键词搞清楚.注意其中易混的关键词,如“都不是”和“不都是”,其中“都不是”是指的一个也不是,“不都是”指的是其中有些不是.【变式训练】已知：命题“若函数f(
8、x)=ex-mx在(0,+)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是()(A)否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是减函数，则 m1”，是真命题(B)逆命题是“若m1，则f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数”，是假命题(C)逆否命题是“若m1，则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是减函数”，是真命题(D)逆否命题是“若m1，则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增函数”，是真命题【解析】选D.f(x)=ex-m0在(0,+)上恒成立，即mex在(0,+)上恒成立，故m1，这说明原命题正确；反之若m1，则f(x)0在(0,+)上恒成立，故逆命题正确.增函数的否定是“
9、不是增函数”.结合选项知选D.考向 2 充分条件、必要条件的判断【典例2】(1)(2012北京高考)设a,bR,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(2)(2012天津高考)设R,则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【思路点拨】(1)利用纯虚数的定义及充分条件、必要条件的概念进行判断即可.(2)根据三角函数性质,条件的充分性是显然的,只要根据偶函数的定义,在函数f(x)=cos(x+)(x
10、R)是偶函数的条件下求出值,然后根据必要条件的概念判断即可.【规范解答】(1)选B.当a=0时,若b=0,则a+bi为实数;当a+bi为 纯虚数时,a=0,b0.所以“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的 必要而不充分条件.(2)选A.方法一:=0时,f(x)=cosx,此时f(-x)=cos(-x)=cosx =f(x)对任意实数x恒成立,函数f(x)是偶函数,即=0f(x)=cos(x+)为偶函数;当f(x)=cos(x+)为偶函数时,根据三角 函数的诱导公式,只要=k(kZ),则f(x)=cosx或者f(x)=-cosx,此时函数f(x)是偶函数,但=0只是其中的一个值,所以 f(x)=
11、cos(x+)为偶函数时,不一定等于零.所以“=0”是“函数f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的充分而不必要条件.方法二:=0f(x)=cos(x+)为偶函数同方法一;当f(x)=cos(x+)为偶函数时,根据偶函数的定义,对任意实数x恒有f(-x)=f(x),即cos(-x+)=cos(x+)对任意实数x恒成立,即cosxcos+sinxsin=cosxcos-sinxsin对任意实数x恒成立,即sinxsin=0对任意实数x恒成立,其充要条件是sin=0,即=k(kZ),即函数f(x)=cos(x+)为偶函数的的集合是|=k,kZ.由于=0只是这个集合中的一个元素,故“=0”是“函
12、数f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的充分而不必要条件.【拓展提升】充要条件的三种判断方法(1)定义法:即根据pq,qp进行判断.(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的充要条件转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy1”是“x1或者y1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.【变式训练】(1)若非空集合A,B,C满足AB=C,且B不是A的子集,则()(A)“xC”是“xA”的充分不必要条件(B)“xC”是“xA”的必要不充分条件(C)“
13、xC”是“xA”的充要条件(D)“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件(2)“m ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的()(A)充分不必要条件(B)充要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件 14【解析】(1)选B.AB=C,且B不是A的子集,说明集合CA.又 AAB=C,即集合AC,这说明集合A的元素都在集合C中,但集 合C中的元素至少有一个不在集合A中,结合选项可知正确选项 为B.(2)选A.一元二次方程x2+x+m=0有实数解时m满足1-4m0,即 m ,故m m ;反之不成立,所以“m ”是“一元二次 方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条
14、件.14141414考向 3 充分条件、必要条件的探究与证明 【典例3】已知集合M=x|x5,P=x|(x-a)(x-8)0.(1)求实数a的取值范围,使它成为MP=x|5x8的充要条件.(2)求实数a的一个值,使它成为MP=x|5x8的一个充分不 必要条件.【思路点拨】(1)分充分性和必要性两个方面求解证明.(2)只要在(1)中求出的实数a的取值范围内找到一个值,破坏 其中的必要性即可.【规范解答】(1)由MP=x|5x8,结合集合M,P可得-3 a5.故-3a5是MP=x|5x8的必要条件.下面证明这 个条件也是充分的.证明:当-3a5时,集合P=x|ax8,集合M=x|x5,故MP=x|
15、5x8.综上可知,-3a5是MP=x|5x8的充要条件.(2)求实数a的一个值,使它成为MP=x|5x8的一个充分不必要条件,就是在集合a|-3a5中取一个值,如取a=0,此时必有MP=x|5x8;反之,MP=x|5x8未必有a=0,故a=0是MP=x|5x8的一个充分不必要条件.【互动探究】本例中条件不变,求实数a的取值范围,使它成为MP=x|5x8的一个必要不充分条件.【解析】求实数a的取值范围,使它成为MP=x|5x8的一 个必要不充分条件就是另求一个集合Q满足所述条件,故a|-3 a5是集合Q的一个真子集.当a|a5时,未必有MP=x|5x8,但是MP=x|5x8时,必有a5,故a|a
16、5 是所求的一个必要不充分条件.【拓展提升】充要条件的证明方法 在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明的.这类试题一般有两种设置格式.(1)证明:A成立是B成立的充要条件,其中充分性是AB,必要性是BA.(2)证明:A成立的充要条件是B,此时的条件是B,故充分性是BA,必要性是AB.【提醒】在分充分性与必要性分别进行证明的试题中,需要分清充分性是什么,必要性是什么;在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明.【变式备选】已知ab0,证明a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.【证明】先证充分性:若a3+b3+ab
17、-a2-b2=0,则(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,所以(a+b-1)(a-)2+=0,由ab0得 a+b-1=0,所以a+b=1成立,充分性得证.再证必要性:若a+b=1,则由以上对充分性的证明知 a3+b3+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,故必要性得证.综上知,a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.b223 b4【易错误区】混淆充分性与必要性致误 【典例】(2013太原模拟)若0 xx”的()(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【误区警示】根据题目中的两个不等式能否相互推出以及充分 条件
18、、必要条件的概念作结论时,混淆充分条件、必要条件的 概念致误.21xsin x1sin x【规范解答】选A.当0 x 时,0sinx1,“”等 价于“xsin2xx”等价于“xsinx1”,“xsin2x1”是“xsinx0且a1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的()(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】选A.因为函数f(x)=ax在R上是减函数,所以0a0,即a2.转化为若0a1,则a2,而若a2推不出0ab成立的充分不必要条件是()(A)ab+1 (B)ab-1(C)a2b2
19、(D)a3b3【解析】选A.题意为由选项中的不等式可得ab,ab得不出选项中的不等式.选项A中,ab+1b,反之ab推不出ab+1;选项B中,abb-1,反之ab-1推不出ab,为必要不充分条件;选项C为既不充分也不必要条件;选项D为充要条件.5.(2013漳州模拟)命题“tan x=0”是命题“cos x=1”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选B.若tan x=0，则x=k,kZ,此时cos x=1,若cos x=1,则x=2k，kZ,此时tan x=0,故“tan x=0”是“cos x=1”的必要不充分条件.1.已知命题“函数
20、f(x),g(x)定义在R上,h(x)=f(x)g(x),如 果f(x),g(x)均为奇函数,则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】选C.由f(x),g(x)均为奇函数可得h(x)=f(x)g(x)为 偶函数,反之则不成立,如h(x)=x2是偶函数,但函数f(x)=,g(x)=ex都不是奇函数,故逆命题不正确.根据命题的等价关系其 否命题也不正确,即只有原命题和逆否命题正确.故选C.2xxe2.设M,N是两个集合,则“MN”是“MN”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选B.方法一:MN时,显然M,N均不是空集,此时一定有MN,故条件是必要的;但当MN时,集合M,N未必有公共元素,故条件不是充分的.方法二:逆否命题是:若MN=,则MN=.当MN=时,M,N可以是空集,也可以不是空集,所以MN不一定是空集,故条件不充分;当MN=时,M=N=,所以一定有MN=,故条件是必要的.
