1、第1节 数列的概念与简单表示法【选题明细表】知识点、方法题号观察法求通项公式1,2,7递推公式的应用5,10,14an与Sn的关系3,6,8,11,12数列的单调性、最值、周期性4,9,13基础巩固(时间:30分钟)1.数列,的一个通项公式为(C)(A)an= (B)an=(C)an=(D)an=解析:观察知an=.2.数列,-,-,的第10项是(C)(A)-(B)-(C)-(D)-解析:所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列an的通项公式an=(-1)n+1,故a10=-.3.(2018济宁模拟)若Sn为数列an的前n项
2、和,且Sn=,则等于(D)(A)(B)(C)(D)30解析:因为当n2时,an=Sn-Sn-1=-=,所以=5(5+1)=30.4.若数列an满足a1=2,an+1an=an-1,则a2 018的值为(B)(A)-1(B)(C)2(D)3解析:因为数列an满足a1=2,an+1an=an-1,所以an+1=1-,所以a2=,a3=1-2=-1,a4=1+1=2,可知数列an的周期为3.而2 018=3672+2,所以a2 018=a2=.故选B.5.数列an满足an+1+an=2n-3,若a1=2,则a8-a4等于(D)(A)7(B)6(C)5(D)4解析:依题意得(an+2+an+1)-(a
3、n+1+an)=2(n+1)-3-(2n-3),即an+2-an=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.6.(2018辽宁省实验中学月考)设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则an等于(C)(A)2n(B)2n-1(C)2n(D)2n-1解析:当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,所以an=2an-1,所以数列an为等比数列,公比为2,首项为2,所以通项公式为an=2n.故选C.7.用火柴棒按如图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以
4、是.解析:由题意,三角形的个数增加一个,火柴棒个数就增加2个.火柴棒的个数依次为3,3+2=22+1,5+2=23+1,7+2=24+1,所以第n个三角形的火柴棒个数an=2n+1=2n+1.答案:an=2n+18.已知数列an的前n项和Sn=n2+2n+1(nN*),则an=.解析:当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1,当n=1时,a1=S1=421+1,因此an=答案:能力提升(时间:15分钟)9.设函数f(x)=-x2+14x+15,数列an满足an=f(n),nN+,数列an的前n项和Sn最大时,n等于(C)(A)14(B)15(C)14或15(D)15或16解析:由题意,an=-
5、n2+14n+15,令-n2+14n+150,所以-1n15,所以数列an的前n项和Sn最大时,n=14或15.10.已知数列an满足a1=15,且3an+1=3an-2.若akak+10,则正整数k等于(C)(A)21(B)22(C)23(D)24解析:由3an+1=3an-2得an+1=an-,所以an=a1-(n-1),又a1=15,所以an=-n.因为akak+10,即(-k)(15-k)0,所以k1且Sn=(nN*),则an等于(A)(A)4n-1 (B)4n-3(C)4n-3或4n-1 (D)n+2解析:当n=1时,a1=S1=,解得a1=1或a1=3,因为Sn1,所以a1=3,当
6、n2时,an=Sn-Sn-1=-,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0,因为an0,故an-an-1=4,所以an是首项为3,公差为4的等差数列,所以an=3+4(n-1)=4n-1.12.(2017河北唐山三模)数列an的前n项和为Sn,若Sn+an=4-(nN*),则an=.解析:因为Sn+an=4-,所以Sn-1+an-1=4-,两式相减得,2an-an-1=-=,两边同乘以2n-1得2nan-2n-1an-1=2,所以2nan是等差数列,又令n=1,得a1=1,所以2nan=2+2(n-1)=2n.所以an=(a1=1也符合此式).答案:13.已知数列an的通项公式是an=n
7、2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;(2)对于nN*,都有an+1an,求实数k的取值范围.解:(1)由n2-5n+40,解得1nan知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到nN*,所以-3.所以实数k的取值范围为(-3,+).14.(2018全国卷)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式.解:(1)由条件可得=an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得=,即=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n2n-1.
