1、四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三数学下学期第四学月考试试题 文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：集合，.考点：集合的并集补集
2、运算.2.在复平面上，复数的对应点所在象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【详解】试题分析：因为，在复平面内对应的点为，该点在第三象限，故选C.考点：1.复数的四则运算；2.复数的几何意义.3.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B.
3、2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C. 2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D. 2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格【答案】D【解析】【分析】先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，则有，所以D正确.故选：D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.4.设等比数列的前
4、项和为，若，则（）A. 14B. 18C. 36D. 60【答案】A【解析】【分析】由已知结合等比数列的求和公式可求，q2，然后整体代入到求和公式即可求【详解】等比数列an中，S22，S46，q1，则，联立可得，2，q22，S62（123）14故选A【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，考查了整体代入的运算技巧，属于基础题5.函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD；再由时，恒为正，排除C即可得解.【详解】函数，则，令，解得的两个极值点为，故排除AD，且当时，恒为正，排除C，即只有B选项符合
5、要求，故选：B.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.6.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】=,选B.7.若，则、的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数比较、三个数与和的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数为上的减函数，则，即；对数函数为上的增函数，所以，即；对数函数为上的增函数，则.因此，.故选：D.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于基础题.8.甲、乙、丙、丁四人
6、参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）A. 甲和丁B 乙和丁C. 乙和丙D. 甲和丙【答案】B【解析】【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁答案选B【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行
7、有效论证9.斜率为的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则（ ）A. 12B. 8C. 10D. 6【答案】A【解析】【分析】由直线的斜率为可得倾斜角为，数形结合分析可得.【详解】解：因为直线的斜率为，所以倾斜角为，即结合题意作图，由图可得，解得.故选：【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，以及抛物线的标准方程，属于基础题.10.平行四边形中，点在边上，则的最大值为( )A. B. C. 0D. 2【答案】D【解析】【分析】根据向量的数量积的运算，求出A=120，再建立坐标系，得到=x（x2）+=x22x+=（x1）2，设f（x）=（x1）2，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得以解决【详解】平行
8、四边形ABCD中，AB=2，AD=1，=1，点M在边CD上，|cosA=1，cosA=，A=120，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，A（0，0），B（2，0），D（，），设M（x，），则x，=（x，），=（2x，），=x（x2）+=x22x+=（x1）2，设f（x）=（x1）2，则f（x）在，1）上单调递减，在1，上单调递增，f（x）min=f（1）=，f（x）max=f（）=2，则的最大值是2，故答案为：D【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题11.已知双曲线（，）的左右焦点分别为，
9、点在双曲线的左支上，与双曲线的右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】由题意得，设，则 由双曲线的定义可知且 解得， 在中，由余弦定理得， 即，所以，故选D点睛：本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)12.已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】
10、B【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.详解:因为函数,所以,当a0时，所以f(x)在（0，+）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a0时，时，函数f(x)单调递增，时，函数f(x)单调递减.所以因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，即故答案为B点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数求函数的图像和性质.第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.调查某地若干户家庭的年收入（单位：万
11、元）和年饮食支出（单位：万元），调查显示年收入与年饮食支出具有线性相关关系，并由调查数据得到对的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元.【答案】0.254【解析】【分析】根据对的回归直线方程，利用求解.【详解】因为对的回归直线方程是，所以，所以家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元.故答案为：0.254【点睛】本题主要考查线性回归方程的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14.若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】画出可行域，结合目标函数的几何意义求解即可【详解】由题不等式表示的可行域如图阴影所
12、示：由得，易得 表示可行域的点与原点连线的斜率，故在A处取得最小值 ，在B处取得最大值2故填【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，准确计算是关键，是基础题15.在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，ABAC2，PA2，则三棱锥PABC外接球的表面积为_.【答案】20.【解析】分析：求出，可得外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积详解：因为，所以由余弦定理可得，设外接圆的半径为，则，所以，设球心到平面的距离为，则由勾股定理可得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为点睛：本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据组合体的结构特征和球的性质，
13、求得三棱锥的外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力16.已知是椭圆（）和双曲线（）的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最小值为_【答案】.【解析】【分析】根据题意，不妨设点在第一象限，那么，根据椭圆与双曲线的定义，得到，根据余弦定理，整理得到，化为，根据基本不等式，即可求出结果.【详解】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，那么，因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为，根据椭圆与双曲线的定义，有：，解得，在中，由余弦定理，可得：，即，整理得，所以，又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的离心率
14、的相关计算，熟记椭圆与双曲线的定义与简单性质，结合基本不等式，即可求解，属于常考题型.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试人的跳高成绩（单位：）.跳高成绩在以上（包括）定义为“合格”，成绩在以下（不包括）定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队队，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.（1）求甲队队员跳高成绩的中
15、位数；（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取人，则人中“合格”与“不合格”的人数各为多少；（3）若从所有“合格”运动员中选取名，用表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试求的概率.【答案】（1）；（2）“合格”有人，“不合格”有人；（3）.【解析】【分析】（1）将数据从小到大排列，找到中间的两个数，再求平均数即得中位数；（2）根据茎叶图，有“合格”人，“不合格”人，求出每个运动员被抽中的概率，然后根据分层抽样可求得结果；（3）根据茎叶图，确定甲队和乙队“合格”的人数，利用古典概型的概率公式可求出的概率.【详解】（1）甲队队员跳高的成绩由小到大依次为、（单位：），
16、中位数为；（2）根据茎叶图，有“合格”人，“不合格”人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是，所以选中的“合格”有人，“不合格”有人；（3）由题意得，乙队“合格”有人，分别记为、，甲队“合格”有人，分别记为、，从这人中任意挑选人，所有的基本事件有：、，共种，其中，事件包含的基本事件有：、，共个，因此，.【点睛】本题考查统计知识：求中位数、分层抽样等，同时也考查了古典概型概率的计算，难度不大18.在锐角中，角所对的边分别是.已知. （1）求；（2）求周长的取值范围.【答案】（）（）【解析】【详解】试题分析：(1)利用题意求得的值，然后结合特殊角的三角函数值求解角的大小即可.(2)首先利用题
17、意求得边的长度，然后结合(1)中的结论和正弦定理得到关于的三角函数式，结合角的范围讨论边的范围即可.试题解析：（）因为，则，由正弦定理知：，所以，得（）， ，又为锐角三角形，则，得，由正弦定理知：，则，所以，19.已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，.（）求证：平面；（）求点到平面的距离.【答案】（）见解析.（）.【解析】【详解】试题分析：（I）由直角梯形的性质结合勾股定理可得，因为平面，所以平面，所以，根据线面垂直的判定定理可得平面；（II）由（）知，平面，可证明平面，可得，由，所以，设为点到平面的距离，利用，可得，.试题解析：（）在直角梯形中，所以，在中，所以，所以.因为平面，所以平
18、面，所以.又平面，平面，所以平面.（）由（）知，平面，.因为平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以.设为点到平面的距离，则 ，又，从而，即点到平面的距离为.20.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：如果函数有极大值，则极大值小于.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】(1)求出导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到的单调区间；（2）由（1）知，如果函数有极大值，则，且为极大值，又，故，即证.【详解】（1）的定义域是，当时，恒成立，在上单调递增；当，恒成立，在上单调递增；当时，方程有两根，由，得，所以在上单调递减，在，上单调递增.（2）证明：由（
19、1）知，如果函数有极大值，则，且为极大值，即， ， ，令，则在上单调递增，在上单调递减，,即，得证.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于中档题.证明不等式往往是根据题意构造新函数，转化为求函数的最值，本题中充分利用了，来简化函数的结构.21.已知点，点P为平面上的动点，过点P作直线l：的垂线，垂足为Q，且求动点P的轨迹C的方程；设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同的两点，且满足，求的取值范围【答案】；【解析】【分析】设,则,根据代入整理即可得P点的轨迹方程；表示出MA方程并与轨迹C联立,可得A的坐标,设出直线AB的方程
20、并与C联立,利用根于系数关系得到的坐标,进而得到,并用换元思想及二次函数最值可求出范围【详解】因为，设,则,所以,因为, 所以,整理得,所以点P的轨迹C的方程为根据题意知,设MA：,联立,解得,所以点,设AB：,联立,消去x得,设,则,因为,所以,则,所以,设,则,令,对称轴为,所以y在上单调递增,所以当时,y取最小值,即取最小值,所以最小值为,则最小值为,所以取值范围是【点睛】本题考查动点轨迹方程,考查抛物线与直线的位置关系的应用,考查利用二次函数求最值,考查运算能力与数形结合思想（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知直线参数
21、方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.【答案】（1）直线普通方程：，曲线直角坐标方程：；（2）.【解析】【分析】（1）消去直线参数方程中的参数即可得到其普通方程；将曲线极坐标方程化为，根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义可知，利用韦达定理求得结果.【详解】（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：曲线极坐标方程可化为：则曲线的直角坐标方程为：，即（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可
22、得：设两点对应的参数分别为：，则，【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用；求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数的几何意义，利用韦达定理来进行求解.23.已知函数（1）解不等式；（2）若，对，使成立，求实数取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值内式子的正负分类讨论去掉绝对值，求不等式的解集即可；（2）设Ay|yf（x），By|yg（x），则由题意知AB，利用绝对值不等式求得A=y|y,By| y，得出从而求出m的取值范围【详解】（1）解：不等式等价于或或，又无解，所以或，故不等式的解集为（2）由f(x)= =，可知当x=时，f(x)最小，无最大值，求得，设Ay|yf（x），By|yg（x），则A=y|y,又=，即By| y，由题意知AB，所以，所以.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与值域问题，是中档题
