1、22.2反证法1了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点2掌握反证法证题的步骤以及哪些类型的题目宜用反证法证明反证法的定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法1命题“关于x的方程axb(a0)有唯一解”的结论的否定是(D)A无解 B两解C至少两解 D无解或至少两解解析：易知此命题结论的否定是：无解或至少两解故选D.2已知l，a，b，若a，b为异面直线，则(B)Aa，b都与l相交 Ba，b至少有一条与l相交Ca，b至多有一条与l相交 Da，b都与l不相交解析
2、：若a，b都与l不相交，则al，bl，ab，这与a，b为异面直线矛盾a，b至少有一条与l相交故选B.3用反证法证明“已知a3b32，求证ab2”时的反设为_，得出的矛盾为_解析：假设ab2，则a2b，a3(2b)3812b6b2b3，又a3b32，6b212b60，即6(b1)20，由此得出矛盾答案：ab26(b1)204“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是_解析：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数答案：a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数(一)用反证法证明数学命题的一般步骤(1)反设即先弄清命题的条件和结论，然后假设命题的结论不成立；(2
3、)归谬从反设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)断言由矛盾得出反设不成立，从而断定原命题的结论成立反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾常常表现为以下几个方面：(1)与已知条件矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾；(4)与简单的、显然的事实矛盾(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，同时注意反设的准确性，尤其当出现两种以上情况时应特别细心，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的(2)必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，并且必须依据这一条件进行推证，否则，只否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法(3)反证法常
4、用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前提，常见“反设词”如下：原词x成立x不成立至少一个至多一个至少n个至多n个p或qp且q反设词x0不成立x0成立一个都没有至少两个至多n1个至少n1个綈p且綈q綈p或綈q)1反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错
5、写成“设”2适合用反证法证明的命题：(1)否定性命题；(2)唯一性命题；(3)至多、至少型命题；(4)明显成立的问题；(5)直接证明有困难的命题3使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：4.常见的矛盾主要有：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾1应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(C)结论相反的判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论A BC D 2用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC90
6、90C180，这与三角形内角和为180矛盾，所以AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个直角，不妨设AB90.其中顺序正确的是(C)A BC D解析：根据反证法的步骤，容易知道选C.3在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的结论是正确的例如：在ABC中，若ABAC，P是ABC内一点，APBAPC，求证：BAPCAP.用反证法证明时应分：假设_和_两类解析：因为小于的否定是不小于，所以应填BAPCAP和BAPCAP.答案：BAPCAPBAPCAP4求证：如果ab0，那么(nN，且n1)证明：假设不大于，则
7、，或当时，则有ab.这与ab0相矛盾当时，则有ab，这也与ab相矛盾所以. 1“实数a，b，c不全为0”的意思为(D)Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为02下列命题中错误的是(D)A三角形中至少有一个内角不小于60B四面体的三组对棱都是异面直线C区间(a，b)上单调函数f(x)至多有一个零点D设a，bZ，若ab是奇数，则a，b中为奇数的一个也没有3用反证法证明命题“如果ab，则”时，假设内容应是(D)A. B.C.且 D.或解析：容易知道，“”的否定是“或”，所以选D.4如果两个实数之和为正数，则这两个数(A)A至少有一个是
8、正数B两个都是正数C一个是正数，一个是负数D两个都是负数解析：假设两个都是负数，其和必为负数，矛盾，所以选A.5a0，b0，c0，则三个数a，b，c(D)A都大于2B都小于2C至少有一个数不大于2D至少有一个数不小于2解析：abc2226.若三个数均小于2，则abc6，故选D.6设椭圆1(ab0)的离心率为e，右焦点为F(c，0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)(C)A必在圆x2y22上B必在圆x2y22外C必在圆x2y22内D以上三种情形都有可能解析：e，a2c.b2a2c23c2.假设点P(x1，x2)不在圆x2y22内，则xx2，但xx(x1x2)22
9、x1x22，矛盾假设不成立点P必在圆x2y22内故选C.7命题“在ABC中，AB则ab”，用反证法证明是，假设是_解析：命题的结论是ab，假设应是“ab”答案：ab8用反证法证明命题：“a，bN，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”那么假设的内容是_解析：“至少有n个”的否定是“最多有n1个”答案：a，b中没有一个能被5整除9命题“a，bR，若|a1|b1|0，则ab1”用反证法证明时应假设为_答案：a1，或b110若下列方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一个方程实根，求实数a的取值范围解析：设三个方程均无实根，则有解得所以a1.所以当a1，
10、或a时，三个方程至少有一个方程有实根11如果非零实数a，b，c两两不相等，且2bac，证明：不成立证明：假设成立，则，b2ac.又b，ac，即a2c22ac，即(ac)20.ac，这与a，b，c两两不相等矛盾不成立12已知f(x)ax(a1)，证明方程f(x)0没有负数根证明：假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01且axo，0axo101，解得x02，这与x00矛盾，故方程f(x)0没有负数根品味高考1(2014山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是(A)A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至
11、多有两个实根D方程x3axb0恰有两个实根解析：因为“方程x3axb0至少有一个实根”等价于“方程x3axb0的实根大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3axb0没有实根”2如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一面内，M，N分别为AB，DF的中点(1)若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线解析：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，MGCD，MG2，NG.平面ABCD平面DCEF，MG平面DCEF.MGGN.MN.(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN平面DCEFEN.由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB平面DCEF.又ABCD，AB平面DCEF.ENAB.又ABCDEF，EFNE.这与EFENE矛盾，故假设不成立ME与BN不共面，它们是异面直线
