1、互动课堂疏导引导 本节课重点是导数的定义和导数的几何意义，难点是利用定义求函数在某点处的导数和在开区间内的导数.一、函数y=f(x)在点x0处的导数(变化率)是f(x0)或y，即f(x0)=，它是函数的平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限值，如果极限不存在，我们就说函数在点x0处不可导.疑难疏引 (1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负，但不为0，而y可能为0.(3)是函数y=f(x)对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x0，f(x0)及点(x0+x，f(x0+x)的割线斜率.(4)导数f(x0
2、)= 是函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率，它反映的函数y=f(x)在点x0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y=f(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率.因此，如果y=f(x)在点x0可导，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).(5)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x0及其附近的函数值有关，与x无关.(6)在定义式中，设x=x0+x，则x=x-x0，当x趋近于0时，x趋近于x0，因此，导数的定义式可写成f(x0)=.(7)若极限不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.(8)若f(x)在x0可导，则曲线y=f(
3、x)在点(x0，f(x0)有切线存在.反之不然，若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)有切线，函数y=f(x)在x0不一定可导，并且，若函数y=f(x)在xo不可导，曲线在点(x0，f(x0)也可能有切线，如切线平行与y轴时. 一般地，(a+bx)=a，其中a，b为常数. 特别地，a=a. 如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a，b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x).称这个函数f(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即f(x)=y=. 函数y=f(x)在x0处的导数y就是函数y=f(x)在开区
4、间(a，b)上导函数f(x)在x0处的函数值，即y=f(x0).所以函数y=f(x)在x0处的导数也记作f(x0).二、注意导数与导函数的区别与联系1.如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内每一点都有导数则称函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导.2.导数与导函数都可称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在点x0处的导数就是导函数f(x)在点x0的函数值.3.求导函数时，只需将求导数式中的x0换成x即可，即f(x)=.4.由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数的一般方法是：(1)求函数的改变量y
5、=f(x+x)-f(x).(2)求平均变化率=.(3)取极限，得导数y=.三、导数与切线的理解 导数集数与形于一身，新教材在介绍导数几何意义时，利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.从代数角度看，平均变化率是由函数上的一点(x0，f(x0)到另一点(x0+x，f(x0+x)函数值增量与自变量增量的比值，当x无限趋近于零时，曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数，这个常数称为在该点的导数；从几何角度看过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，因此导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率. 用运动变化的观念分析曲线C:y=
6、f(x)上某点(x0，y0)的切线，从点(x0，y0)引割线，当另一交点无限趋近某点(x0,y0)时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点(x0,y0)的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为x0时，k=f(x0)，或xx0时，k=f(x0).特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=x0.四、导数的物理意义 瞬时速度是路程对时间的变化率，某时刻的瞬时速度就是路程在某时刻的导数，加速度是速度的导数，动量是动能的导数.活学巧用1.如果一个质点从定点A开始沿直线运动的位移函数为y=f
7、(t)=t3+3.(1)当t0=4且t=0.01时，求y和;(2)当t0=4时，求的值;(3)说明的几何意义.解析：(1)y=f(4+t)-f(4)=(4+t)3+3-43-3=(t)3+48t+12(t)2=(0.01)3+48(0.01)+12(0.01)2=0.481 201，=48.120 1.(2)当t=0.001时，=48.012 01， 当t=0.000 1时，=48.001 201. 所以当t0时，=48.(3)y是质点由固定点A开始在t这段时间内的位移，所以是质点A在t这段时间内的平均速度，而是质点A在时间t0的瞬时速度.2.已知y=f(x)=,求y及y|x=1.解析：y=f
8、(x+x)-f(x)=-=,y=.y|x=1=f(1)=-1.点评:函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念,在点x0处的导数是函数的导数在x=x0处的函数值.求函数的导数分三个步骤:(1)求函数增量y=f(x+x)-f(x);(2)求平均变化率=;(3)取极限并求极限值,得导数f(x)=.3.如果曲线y=x2+x-3的某一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程.解析：切线与直线y=3x+4平行，斜率为3. 设切点坐标为(x0,y0),则y=3. 又y=(x+2x0+1)=2x0+1,2x0+1=3, 从而得切点坐标为(1，-1)， 切线方程为3x-y-4=0.4.在曲线y=x2+
9、3的图象上取一点P(1，4)及附近一点(1+x，4+y)，求(1)；(2)x0时，求的值；(3)在点P(1，4)的切线方程.解析：(1)=2+x.(2)x0时，=2+x2, 即=(2+x)=2.(3)由(2)知过点P(1,4)的切线的斜率为2，故在点P(1，4)的切线方程为y-4=2(x-1)，即2x-y+2=0.5.(1)已知质点运动方程是s(t)=+2t-1,求质点在t=4时的瞬时速度，其中s的单位是m，t的单位是s.(2)已知某质点的运动方程是s(t)=3t2-2t+1,求质点在t=10时的瞬时速度和动能.(设物体的质量为m)分析:瞬时速度是路程对时间的变化率，而动能U=.解：(1)质点在t=4时的瞬时速度为v(t=4)=(gt+4g+2)=4g+2, 所以质点在t=4时的瞬时速度为4g+2 (m/s).(2)质点在t=10时的瞬时速度为v(t=10)=(3t+58)=58, 所以质点在t=10时的瞬时速度为v=58 m/s；质点在t=10时的动能为U=(58)2=1 682m J.
