1、第68讲不等式证明的基本方法夯实基础【p164】【学习目标】1会用基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极)值2通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法【基础检测】1要证明2可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A综合法 B分析法C归纳法 D类比法【答案】B2已知1b0，aabab2 Bab2abaCabaab2 Dabab2a【解析】abab2ab(1b)，ab2aa(b1)(b1)1b0，a0，a(b1)(b1)0，即abab2a.【答案】D3已知t1，且x，y，则x，y之间的大小关系是()Axy BxyCxy Dx，
2、y的关系随t而定【解析】由于x，y，又t1，0，xy.故选C.【答案】C4设a0，b0，且ab4，则有()A. B.1C.2 D.【解析】4ab2，2，1，故选B.【答案】B【知识要点】1不等式证明的方法(1)比较法：作差比较法：因为abab0，ababb只要证明_ab0_即可，这种方法称为作差比较法作商比较法：因为ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为作商比较法(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法即“由因导果”的方法(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成
3、立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法即“执果索因”的方法(4)反证法和放缩法：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法2柯西不等式(*)(1)定理1(二维形式的柯西不等式)：(a2b2
4、)(c2d2)(acbd)2，a，b，c，dR.当且仅当adbc时等号成立(2)定理2(向量形式的柯西不等式)：设，是两个向量，则|.当且仅当0，或存在一个实数k，使k(k0)时等号成立(3)定理3(二维形式的三角不等式)：设x1，y1，x2，y2R，则：.当且仅当x1x2，y1y2(0)时等号成立(4)定理4(柯西不等式一般形式)：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bnR，则：(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.当且仅当bi0(i1，2，n)或存在一个数k，使aikbi(i1，2，n)时等号成立典 例 剖 析【p164】考点1比较法证明不等式已知实数a、b满足a2b
5、2ab3.(1)求ab的取值范围；(2)若ab0，求证： .【解析】(1)因为a2b2ab3，所以a2b23ab2.当ab0时， 3ab2ab，解得ab3，即0ab3；当ab0时， 3ab2ab，解得 ab1，即1ab0，所以1ab3，则03ab4，而a2b22ab3ab2ab3ab，所以04，即2ab2.(2)由(1)知00，b0，c0，2，即abc2，当且仅当abc1时，取“” ，所以abc，即3.(2)已知a，b均为正数，且ab1，证明：.【解析】4a2b24a2b24a2b2114(a2b2)224242，当且仅当ab时等号成立【小结】在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事
6、件，特别是连续使用的时候，要求分析每次使用时等号是否成立考点3柯西不等式的应用(*)已知x，y，z均为实数(1)若xyz1，求证：3；(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值【解析】(1)因为()2(121212)(3x13y23z3)27.所以3，当且仅当x，y，z0时取等号(2)因为6x2y3z，所以x2y2z2，当且仅当x即x，y，z时，x2y2z2有最小值.【小结】使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明【能力提升】设不等式02的解集为M，a，bM.(1)证明： ；(2)比较与2的大小，并
7、说明理由【解析】(1)记f由02x12解得x，则M.a，bM，所以.(2)由(1)得a2，b20，所以4，故2.方 法 总 结【p166】证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据(3)在
8、使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立(4)柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件走 进 高 考【p166】1(2017全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.【解析】(1)解法1：(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.解法2：(柯西不等式)由柯西不等式可得：(ab)(a5b5)()2(a3b3)24，当且仅当，即ab1时取等号，所以(ab)(a5b5)4.(2)解法1：因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以 (ab)38，因此ab2.解法2：(分析法)因为a0，b0，要证明ab2，只需证明(ab)38，即证明a33a2b3ab2b38，只需证明a2bab22，因为a3b32，上式等价于a2bab2a3b30，也即a2(ba)b2(ab)0，即(a2b2)(ba)(ab)2(ab)0，因为a0，b0，上式显然成立，所以结论成立，即ab2.
