1、第八节曲线与方程1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是_.(2)以这个方程的解为坐标的点都在_.那么，这条曲线叫作_，这个方程叫作_.这个方程的解曲线上方程的曲线曲线的方程2.求动点的轨迹方程的基本步骤3.圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到_的距离与它到_的距离之比为定值e.e的范围与圆锥曲线形状关系如下：一个定点一条定直线e的范围圆锥曲线表示的曲线_椭圆_双曲线_抛物线0e1e=14.直线与圆锥曲线的交点设曲线C1:f(x,y)=0，C2:g(x,y)=0,M(x0,y0
2、)是曲线C1与C2的一_个交点故求曲线交点即求方程组_，的实数解.f(x0,y0)=0g(x0，y0)=0判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.()(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.()(4)方程与x=y2表示同一曲线.()(5)若动点P到定直线l:x=4的距离与到定点F(1，0)的距离之比是则动点P的轨迹为椭圆.()【解析】(1)正确.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,又P(x0,y0
3、)在曲线f(x,y)=0上时，有f(x0,y0)=0,f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.(2)错误.方程变为x(x+y-1)=0,x=0或x+y-1=0,故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.(3)错误.当以两条互相垂直的直线为x轴、y轴时，是x2=y2,否则不正确.(4)错误.因为方程表示的曲线，只是方程x=y2表示曲线的一部分，故其不正确.(5)错误.动点P到定点F(1，0)的距离与到定直线l:x=4的距离之比为2,轨迹应为双曲线的一支，而不是椭圆.答案：(1)(2)(3)(4)(5)1.方程表示的曲线是()(A)抛物线的一部分(B)双曲线的一部
4、分(C)圆(D)半圆【解析】选D.因为y0,x2+y2=9(y0)表示一个半圆.2.已知定点P(x0,y0)不在直线l:f(x,y)=0上，则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一条()(A)过点P且垂直于l的直线(B)过点P且平行于l的直线(C)不过点P但垂直于l的直线(D)不过点P但平行于l的直线【解析】选B.显然定点P(x0,y0)满足方程f(x,y)-f(x0,y0)=0，即直线f(x,y)-f(x0,y0)=0过点P，设直线l:f(x,y)=0的方程为Ax+By+C=0，即f(x,y)=Ax+By+C,f(x,y)-f(x0,y0)=0的方程为:Ax+By+C-(Ax0+By0
5、+C)=0,Ax+By-Ax0-By0=0与l平行.综上可知：B正确.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是()(A)2x+y+1=0 (B)2x-y-5=0(C)2x-y-1=0 (D)2x-y+5=0【解析】选D.由题意知，M为PQ中点，设Q(x,y),则P点坐标为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.4.已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为_.【解析】设点A(x,y)，因为B(0,0)，所以AB的中点又C(5,
6、0),|CD|=3，所以化简得：(x-10)2+y2=36.又ABC中的三点A，B，C不能共线，所以去掉点(4,0)和(16,0).答案：(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0)5.曲线C1:与曲线C2:y=1(x+1)2的公共点的个数是_.【解析】由消去x得4y2y3=0,(1)244(3)=490，同理可得y2=1时得x=1,所以公共点的个数是3.答案：3考向 1 利用直接法求轨迹方程【典例1】(1)(2012江西高考改编)已知三点O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)，若曲线C上任意一点M(x,y)满足则曲线C的方程为_.(2)已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆
7、C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程.【思路点拨】(1)直接依据利用向量有关运算化简得x,y的方程.(2)可设出动点M的坐标，依据动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)即可得出方程.【规范解答】(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),由已知得化简得曲线C的方程为x2=4y.答案：x2=4y(2)设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为：P=M|MN|=|MQ|，因为圆C的半径|CN|=1,所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1，设点M的坐标为M(x,y)，则化简整理得：(2-1)(x2+y2)-42x+
8、1+42=0(0).【互动探究】若本例题(2)中的条件不变，求动点M的轨迹.【解析】由例题解析可知：曲线的方程为(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0)，因为0,所以当=1时，方程化为4x-5=0,它表示一条直线;当1时，方程化为：它表示圆心为半径为的圆.【拓展提升】1.直接法求轨迹方程的一般步骤(1)建立恰当的坐标系，设动点坐标(x,y).(2)列出几何等量关系式.(3)将坐标条件变为方程f(x，y)=0.(4)变方程为最简方程.(5)检验，就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性.2.直接法适合求解的两类轨迹类型(1)类型一：待求轨迹上的动点满足的几何条件可转化为动点与一些几何量满足的
9、等量关系，而该等量关系又易于表达成含x,y的等式时，一般用直接法求轨迹方程.(2)类型二：题目给出了等量关系，直接代入即可得方程.【变式备选】已知点M，N为两个定点，|MN|=6,且动点P满足求点P的轨迹方程.【解析】以点M，N所在的直线为x轴，MN的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则M(-3,0)，N(3,0),设P(x,y)，则=(-3-x,-y),=(3-x,-y),=(-3-x,-y)(3-x,-y)，又因为=6,所以(-3-x,-y)(3-x,-y)=6，化简整理得：x2+y2=15.考向 2 利用定义法求轨迹方程【典例2】(1)(2013巢湖模拟)ABC的顶点A(-5，0)，
10、B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是_.(2)(2013长安模拟)已知B是圆F：(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程.【思路点拨】(1)根据题设条件，寻找动点C与两定点A，B距离的差满足的等量关系|CA|-|CB|=6,由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分，再求其方程.(2)根据题设条件，寻找动点P与两点A，F距离的和满足的等量关系|PA|+|PF|=2，用定义法求方程.【规范解答】(1)如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线的定义，所求轨
11、迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为答案：(2)如图，连接PA，依题意可知|PA|=|PB|.|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=21.P点轨迹为以为焦点，长半轴长为1的椭圆.其方程可设为又故P点的轨迹方程为【拓展提升】定义法适合所求轨迹的特点及求解关键(1)特点：若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.(2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义.【提醒】利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.【变式训练】(
12、2013蚌埠模拟)一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线.【解析】如图所示，设动圆圆心M的坐标为(x,y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1,O2,将圆的方程分别配方得：(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100，当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2.当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10-R.将两式相加，得|O1M|+|O2M|=12|O1O2|,动圆圆心M(x,y)到点O1(-3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12,所以点M的轨迹是焦点为O1(-3,0),O2(3,0),长轴长等于
13、12的椭圆.2c=6,2a=12,c=3,a=6,b2=36-9=27,圆心M的轨迹方程为轨迹为椭圆.考向 3 利用参数法、相关点(代入)法求轨迹方程【典例3】(1)(2012辽宁高考改编)如图，椭圆(ab0,a,b为常数)，动圆C1:bt10,且m1).当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.【思路点拨】(1)由A，B点的对称性，可设出它们的坐标，利用点的坐标为参数，根据直线方程的点斜式写出直线方程，用引入的参数得到交点坐标满足的关系，消去参数得轨迹方程.(2)解答本题的关键是把点M的坐标设出，利用相关点(代入)法求轨迹.【规范解答
14、】(1)设A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为直线A2B的方程为由得由点A(x1,y1)在椭圆C0上，故从而代入得答案：(2)设M(x,y)，A(x0,y0),则由|DM|=m|DA|(m0,且m1),可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=|y|.因为A点在单位圆上运动，所以将式代入式即得所求曲线C的方程为(m0,且m1).因为m(0,1)(1,+),所以当0m1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为【拓展提升】1.参数法适用的轨迹类型及使用流程有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较
15、易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个或两个变量(斜率、比值、截距或坐标等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另外变量的变化而变化，我们可称这些变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的方程，只要根据参数满足的约束条件消去参数即可.2.相关点法(代入法)适用的轨迹类型及使用流程动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x,y)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x，y表示成x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P的轨迹方程.【提醒】用代入法求轨迹方程是将x，
16、y表示成x，y的式子，同时注意x，y的限制条件.【变式训练】(2013宜春模拟)已知抛物线y2=4px(p0),O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OAOB,如果OMAB于M点，求点M的轨迹方程.【解析】设M(x,y)，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=kx+b,由OMAB得由y2=4px及y=kx+b消去y,得k2x2+x(2kb-4p)+b2=0,所以消去x，得ky2-4py+4pb=0.所以由OAOB，得y1y2=-x1x2,所以故y=kx+b=k(x-4p),把代入，得x2+y2-4px=0(x0)(*).当直线AB斜率不存在时，M点坐标为(4p,0)，适合(*)式.所以
17、M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x0).【满分指导】解答求轨迹方程的综合题【典例】(12分)(2012湖南高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x-5)2y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.(1)求曲线C1的方程.(2)设P(x0,y0)(y03)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.【思路点拨】已知条件条件分析点M与圆C2上点的距离的最小值得最小值为|MC2|-3 M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2
18、上点的距离的最小值设M的坐标为(x,y),得到或点M到C2的距离等于它到直线x=-5的距离点P在直线x=-4上运动可设P的坐标为(-4，y0)过P作圆C2的两条切线分别与曲线C1相交于A，B和C，D 设出切线方程，与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到A，B，C，D四点纵坐标之积为定值【规范解答】(1)方法一：设M的坐标为(x,y)，由已知得2分易知圆C2上的点位于直线x=-2的右侧，于是x+20，所以.3分化简得曲线C1的方程为y2=20 x.4分方法二:由题设知,曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离.2分因此,曲线C1是以(5,0)为焦点,直线
19、x=-5为准线的抛物线.3分故其方程为y2=20 x.4分(2)当点P在直线x=-4上运动时,P的坐标为(-4,y0),又y03,则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,设切线方程为y-y0=k(x+4),即kx-y+y0+4k=0.6分于是整理得72k2+18y0k+-9=0.(a)7分设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1,k2，则k1,k2是方程(a)的两个实根，故 (b)8分由得k1y2-20y+20(y0+4k1)=0.(c)9分设四点A,B,C,D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4,则y1,y2是方程(c)的两个实根,所以 (d)同理
20、可得 (e)10分于是由(b),(d),(e)三式得所以,当P在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6 400.12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013阜阳模拟)方程(x-y)(lg x+lg y)=0表示的曲线是()(A)一条直线和一条双曲线(B)两条双曲线(C)两个点(D)以上答案都不对【解析】选D.(x-y)(lg x+lg y)=0 x-y=0或lg(xy)=0(x0,y0),y=x或y=(x0,y0),故方程表示直线y=x和双曲线y=中x0的部分，所以选D.2.(2013西安模拟)已知点A(1，0)和圆C：x2+y2=4上一点R，动点P满足则点P的
21、轨迹方程为()【解析】选A.设P(x,y),R(x0,y0)，则有又又R(x0,y0)在圆x2+y2=4上，(-2x+3)2+(-2y)2=4,即3.(2013上饶模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)圆【解析】选A.由条件知|PM|=|PF|.|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.4.(2012四川高考改编)如图，动点M与两定点A(-1,0)，B(2,0)构成MAB，且MB
22、A=2MAB，设动点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为_.【解析】设M的坐标为(x,y),显然有x0，且y0.当MBA=90时，点M的坐标为(2，3).当MBA90时，x2，由MBA=2MAB，有化简可得3x2-y2-3=0.而点(2，3)在曲线3x2-y2-3=0上，综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x1).答案：3x2-y2-3=0(x1)1.已知P是椭圆上的任意一点，F1,F2是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_.【解析】设P点关于原点的对称点为M，设Q(x,y)，则即P点坐标为又P在椭圆上，则有即答案：2.已知真命题：若A为O内一定点，B为O上一动点，线段AB的
23、垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是以O，A为焦点，OB长为长轴长的椭圆.类比此命题，写出另一个真命题：若A为O外一定点，B为O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是_.【解析】如图，连接AP，由于P是线段AB垂直平分线上一点，故有|PA|=|PB|，因此|PA|-|PO|=|PB|-|PO|=|OB|=R为定值，其中R为O的半径.又由于点A在圆外,故|PA|-|PO|=|OB|=R|OA|,故动点P的轨迹是以O，A为焦点，|OB|为实轴长的双曲线.答案：以O，A为焦点，|OB|为实轴长的双曲线3.一动圆与圆O1:(x+2)2+y2=3外切，与圆O2:(x-2)2
24、+y2=27内切.(1)求动圆圆心M的轨迹方程.(2)试探究圆心M的轨迹上是否存在点P，使直线PO1与PO2的斜率满足若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).【解析】(1)设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，由题意，得由椭圆定义知M在以O1,O2为焦点的椭圆上，且c=2,b2=a2-c2=12-4=8.动圆圆心M的轨迹方程为(2)由(1)知动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别为O1(-2,0)和O2(2，0).设P(x,y)是椭圆上的点，由得即x2-y2=4(x2)，这是实轴在x轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线(除去两个顶点)，它与椭圆的交点即为点P.由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点.即圆心M的轨迹上存在四个点P，使直线PO1与PO2的斜率满足
