1、第五节同角三角函数的基本关系式与两角和与差的三角函数1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:_.(2)商数关系:2.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin2+cos2=1cos cos-sin sin sin cos-cos sin sin cos+cos sin 判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的.()（2）存在实数,使等式sin(+)=sin+sin 成立.()(3)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定.()（4）公式可以变形为tan+tan=tan(+)(1-tan tan),且对任意角,都成
2、立.()（5）sin 15=sin(45-30)=cos 45sin 30-sin 45cos 30.()【解析】（1）正确.对于任意的实数,两角和与差的正弦、余弦公式都成立.（2）正确.如令=0，sin 0=0,sin(+0)=sin=sin+sin 0.(3)错误.cos(A+B)0,即cos Acos B-sin Asin B0.sin Asin Bcos Acos B.(4)错误.变形可以，但不是对任意角,都成立.（5）错误.sin 15=sin(45-30)=sin 45cos 30-cos 45sin 30,故错误.答案：（1）（2）（3）（4）(5)1.tan=3，则的值等于()
3、（A）2 （B）3 （C）4 （D）6【解析】选D.2.已知,均为锐角，且则sin(+)的值是()【解析】选B.由,均为锐角，得sin(+)=sin cos+cos sin 3.已知sin x=2cos x，则sin2x+1=()【解析】选B.方法一：sin2x+cos2x=1,方法二：由sin x=2cos x,得tan x=2,4.tan 20+tan 40+tan 20tan 40=_.【解析】由得,代入所求得,答案：5.sin 62cos 58+cos 62sin 122的值为_.【解析】原式=sin 62cos 58+cos 62sin 58=sin 120=答案：考向 1 同角三角
4、函数关系式的应用【典例1】（1）（2013宝鸡模拟）若且则sin(-)=()(2)（2013萍乡模拟）若sin,cos 是方程4x2+2mx+m=0的两根，则m的值为()（3）已知是三角形的内角,且求tan 的值;把用tan 表示出来,并求其值.【思路点拨】（1）利用诱导公式及sin2+cos2=1求解.（2）应用一元二次方程根与系数的关系及平方关系得到关于m的方程后求解.（3）由同角三角函数平方关系及已知，列方程组求出sin，cos 的值,然后求出tan；运用1=sin2+cos2，把原式化为关于sin，cos 的齐次式，转化为关于tan 的代数式后求值即可.【规范解答】(1)选B.又(2)
5、选B.由题意知:又(sin+cos)2=1+2sin cos,解得又=4m2-16m0,m0或m4,(3)方法一：由题意得由()得将其代入()，整理得25sin2-5sin-12=0.解得或是三角形的内角，sin 0,方法二:即且00,cos 0,由得【互动探究】在例（1）中，条件不变，结论改为“求tan(-)=_”，则如何求解？【解析】又答案：【拓展提升】应用同角三角函数关系式的关注点（1）应用同角三角关系式时注意方程思想的应用.对于sin+cos,sin cos,sin-cos 这三个式子，利用（sin cos）2=12sin cos 知一求二.（2）注意公式逆用及变形应用.如1=sin2
6、+cos2，sin2=1-cos2,cos2=1-sin2.【提醒】解答例（2）时常误选C，原因是忽视一元二次方程中判别式对未知量的限制.【变式备选】（1）已知tan=2,则_._.【解析】由tan=2,得：由tan=2,得:答案：-3 (2)已知且0，0,求和的值.【解析】将所给两式变形可化为 则2+2，得或当时，当时,01,sin(+)=+0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()(2)已知函数求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.若求cos 2x0的值.【思路点拨】（1）将函数y=f(x)化为f(x)=Acos(x+)的形式，根据平移后所得函数为偶函数
7、求m.(2)逆用倍角公式和两角和的正弦公式，化简成f(x)=Asin(x+)的形式后解题.利用f(x0)求再构造角求解.【规范解答】（1）选C.把此函数的图像向右平移m(m0)个单位后所得图像对应的函数为由题意知函数y=g(x)为偶函数，故所以又m0,故m的最小值为(2)由函数f(x)的最小正周期为在区间上是增加的，在区间上是减少的，又所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为-1.由可知又因为所以由得从而【拓展提升】解三角函数综合应用问题的注意点（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用往往渗透在三角函数性质中，解题时需要利用这些公式把函数解析式化为y=Asin(x+）的形式后,再进一
8、步探讨定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等问题.（2）注意特殊角的三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主要考查基本运算能力和公式的灵活应用【变式训练】设函数(其中01,aR),且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为（1）求的值.（2）如果f(x)在区间上的最小值为求a的值.【解析】(1)由由题意，得(2)由（1）知，又当时，故又f(x)在区间上的最小值为则故【满分指导】解决三角函数综合问题的答题规范【典例】(12分)(2012广东高考)已知函数f(x)=2cos(x+)(其中0,xR)的最小正周期为10.(1)求的值.(2)设,0,f(5+)=-,f(5-)=求c
9、os(+)的值.【思路点拨】已知条件条件分析最小正周期T=10=得f(5+)=代入解析式得sinf(5-)=代入解析式得cos,0,利用平方关系解得cos,sin【规范解答】(1)由于函数f(x)的最小正周期为10,10=,=.2分(2)由(1)知f(x)=2cos(x+).又f(5+)=4分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.（2013榆林模拟）已知则sin4-cos4的值为()【解析】选B.sin4-cos4=sin2-cos2=2sin2-1=2.(2012湖南高考)函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为()(A)-2,2 (B)(C)-1,1 (D)【解析】选B.f(x)=s
10、in x-cos x+sin xx-R,f(x),故选B.3.(2013汉中模拟)已知,且tan,tan 是方程x2+x+4=0的两根，则+=()【解析】选C.由条件知tan+tan=,tan tan=4,tan 0,tan 0.,(,0),-+0.又tan(+)=+=4.(2013铜陵模拟）_.【解析】原式答案：-15.(2013景德镇模拟)若cos(+)=,cos(-)=,则tan tan=_.【解析】由已知，得cos cos-sin sin=,cos cos+sin sin=,则有cos cos=,sin sin=,即tan tan=答案：1.已知则f(x)在的最大值与最小值的差等于()【解析】选B.由当时，f(x)在上的最大值为最小值为故两者之差为2.函数的图像()（A）关于原点对称（B）关于y轴对称（C）关于点对称（D）关于直线对称【解析】选D.当时,此时故f(x)的图像关于直线对称.
