1、第五节对数与对数函数1.对数的定义（1）对数的定义请根据下图的提示填写与对数有关的概念：指数对数幂真数底数其中a的取值范围是：_.(2)两种常见对数a0,且a1对数形式特点记法常用对数底数为_自然对数底数为_10lg Neln N2.对数的性质、换底公式与运算性质（1）性质loga1=_;logaa=_;.其中a0,且a1.(2)换底公式基本公式：logab=_(a,c均大于0且不等于1，b0).推广公式：logablogbclogcd=logad.（a,b,c均大于0且不等于1，d0）N01（3）运算性质如果a0,且a1,M0,N0，那么：loga(MN)=_;=_;logaMn=_.log
2、aM+logaNlogaM-logaNnlogaM（nR）3.对数函数的定义、图像与性质定义函数_（a0,且a1）叫做对数函数图像a10a1y=logax性质定义域：_值域：_当x=1时，y=0，即过定点_当0 x1时，y0；当x1时,_当0 x1时，y0;当x1时，_是（0，+）上的_是（0，+）上的_（0，+）R（1，0）y0y0增函数减函数4.反函数指数函数y=ax（a0，且a1）与对数函数_(a0，且a1)互为反函数，它们的图像关于直线_对称.y=logaxy=x判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）函数y=lg(x+3)(x-3)与y=lg（x+3）+lg（x-3）的
3、定义域相同.()（2）log2x2=2log2x.()（3）当x1时，logax0.()（4）当x1时，若logaxlogbx，则ab.()【解析】（1）错误.函数y=lg（x+3）（x-3）的定义域为（-，-3）（3，+），而函数y=lg（x+3）+lg（x-3）的定义域为（3，+）.(2)错误.当x0时，log2x2=2log2（-x）.(3)错误.当a1时，logax0，当0a1时，logax0.(4)错误.当a1，0b1时，logaxlogbx,但ab.答案：（1）（2）（3）（4）1.计算：2log510+log50.25=()(A)0 (B)1 (C)2 (D)4【解析】选C.2l
4、og510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2.2.若函数y=f（x）是函数y=ax（a0，且a1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=()(A)(B)2x-2(C)(D)log2x【解析】选D.由题意知f（x）=logax,又f（2）=1，loga2=1,a=2,f(x)=log2x.3.如果那么()(A)yx1 (B)xy1(C)1xy (D)1yx【解析】选D.是（0，+）上的减函数，xy1.4.计算：【解析】原式答案：4考向 1 对数的运算【典例1】（1）(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n.【思路点拨】(1)利用对数的运算法则及性
5、质求解.(2)将对数式化为指数式或直接代入求解.【规范解答】（1）原式答案：(2)方法一：loga2=m,loga3=n,am=2,an=3,a2m+n=(am)2an=223=12.方法二：loga2=m,loga3=n,【拓展提升】对数运算的一般思路（1）首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.（2）将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.【提醒】在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.【变式训练】（1）（2013宝鸡模拟）计算:（lg 2）2+lg 2lg
6、 5+lg 5=_.【解析】原式=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1.答案：1（2）（2013大连模拟）设2a=5b=m，且则m=_.【解析】2a=5b=m,a=log2m,b=log5m,答案：考向 2 对数函数的图像及其应用【典例2】（1）（2013长沙模拟）函数y=ax2+bx与(ab0,|a|b)在同一直角坐标系中的图像可能是()（2）已知函数若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是()（A）(1,10)（B）(5,6)（C）(10,12)（D）(20,24)【思路点拨】（1）根据函数y=ax2+bx与x轴的交点确定的范围.(2)画出f（x）的图像,确定abc的范围.【规范解答】（1）选D.令ax2+bx=0得x=0或对于A,B项，由抛物线知此时对数函数的图像不符合要求，故A，B项不正确；对于C项，由抛物线知此时对数函数的图像不符合要求，故C不正确；对于D项，由抛物线知此时对数函数的图像符合要求，故选D.（2）选C.作出f(x)的大致图像.不妨设abc，因为a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，由函数的图像可知10c1,且=a2-20.
