1、第四节指数与指数函数1.指数扩充及其运算性质（1）分数指数幂的概念给定正实数a,对于任意给定的整数m，n（m，n互素），存在唯一的正实数b,使得_，把b叫作a的次幂，记作它就是分数指数幂.bn=am(2)正分数指数幂与负分数指数幂正分数指数幂的根式形式：（a0).正数的负分数指数幂的意义：(a0,m,nN+,且n1).0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂_.0没有意义(3)指数运算的性质若a0,b0,对任意实数m,n,指数运算有以下性质：aman=_；(am)n=_；(ab)m=_.2.指数函数的概念（1）解析式：_.（2）自变量：_.（3）定义域：_.am+namnambmy=ax(a0
2、,a1)xR3.指数函数的图像与性质a10a10a0时，_;当x0时，_;当x10y10y1增函数减函数判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）()（2）函数y=a-x是R上的增函数.()（3）函数（a1）的值域是（0，+）.()（4）函数y=2x-1是指数函数.()【解析】（1）错误.底数为负数时，指数不能约分.（2）错误.当a1时函数是R上的减函数，当0a1时函数是R上的增函数.（3）错误.因为x2+11，所以ya，即值域为a，+）.(4)错误.不符合指数函数的定义.答案：（1）（2）（3）（4）1.化简的结果为()(A)-9 (B)7 (C)-10 (D)9【解析】选B.2
3、.当a0且a1时，函数f（x）=ax-2-3的图像必过定点_.【解析】由a0=1知，当x-2=0，即x=2时，函数f（x）的图像恒过定点.此时，f（2）=-2，即图像必过定点（2，-2）.答案：（2，-2）3.指数函数y=（2-a）x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_.【解析】由题意知，02-a1，即1a2.答案：（1，2）4.函数的值域是_.【解析】1-xR,y0.答案：（0，+）考向 1 指数幂的化简与求值【典例1】化简：（1）（2）【思路点拨】将根式化为分数指数幂，负分数指数幂化为正分数指数幂，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行计算.【规范解答】（1）原式（2）原式【拓展
4、提升】指数幂的一般运算原则（1）有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.（2）先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.（3）底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.（4）若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式训练】（1）计算下列各题:【解析】原式原式（2）已知求【解析】m+m-1=14,考向 2 指数函数图像的应用【典例2】已知函数（1）作出图像.（2）由图像指出其单调区间.（3）由图像指出当x取什么值时函数有最值.【思路点拨】将函数
5、写成分段函数的形式，作出函数的图像，由图像可求单调区间及最值.【规范解答】(1)由已知可得,其图像由两部分组成：一部分是：另一部分是：y=3x（x0）y=3x+1（x-1）.图像如图所示.向左平移1个单位向左平移1个单位（2）函数f(x)在（-，-1上是增加的，在-1，+)上是减少的.（3）当x=-1时，函数取最大值1，无最小值.【互动探究】将本例变为求作“的图像”，如何求解？【解析】第一步：先作出的图像.第二步:把的图像向下平移1个单位得的图像，如图所示.【拓展提升】1.应用指数函数图像研究指数型函数的性质对指数型函数的性质（单调性、最值、大小比较、零点等）的求解往往利用相应指数函数的图像,
6、通过平移、对称变换得到其图像,然后数形结合使问题得解.2.利用图像解指数型方程、不等式一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图像数形结合求解.【变式备选】若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0,a1)的图像有两个公共点，求实数a的取值范围.【解析】分底数0a1两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图像，如图：从图中可以看出，只有当0a1，且02a1，即0a 时，两函数才有两个交点，所以0a .考向 3 指数函数性质的应用【典例3】(1)（2013赣州模拟）已知若对任意x1-1,3，存在x20,2，f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是()(A)(B)(C)-8,
7、+)(D)1,+)(2)已知（a0且a1）.讨论f（x）的奇偶性；求a的取值范围，使f（x）0在定义域上恒成立.【思路点拨】(1)只需f(x1)ming(x2)min即可.(2)先求函数的定义域，再判断奇偶性，对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x0的情况.【规范解答】(1)选B.x1-1,3,f(x1)min=0,x20,2,由题意知f(x1)ming(x2)min,即(2)由于ax-10,则ax1,得x0,所以函数f（x）的定义域为x|x0,xR.对于定义域内任意x，有f(x)是偶函数.由知f（x）为偶函数，只需讨论x0时的情况.当x0时，要使f（x）0，即即即即ax-10，ax1，
8、axa0.又x0，a1.因此a1时，f（x）0在定义域上恒成立.【拓展提升】指数函数的性质的应用（1）应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.（2）与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解方法一致,只需根据条件灵活选择即可.【变式训练】已知函数（a0且a1），(1)求f(x)的定义域.(2)讨论f(x)的奇偶性.(3)讨论f(x)的单调性.【解析】(1)f（x）的定义域是R.(2)f（x）是奇函数.(3)设x1,x2是R上任意两个实数,且x1x2,则x1x2,当a1时,从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x
9、)为R上的增函数.当0a1时,从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的减函数.【易错误区】忽略讨论及验证致误【典例】（2012山东高考）若函数f（x）=ax（a0，a1）在-1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数在0，+)上是增函数，则a=_.【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面:（1）误以为a1,未进行分类讨论从而求得错误答案.（2）对条件“g（x）在0，+）上是增函数”不会使用，求得结果后未进行检验得到两个答案.【规范解答】若a1，有a2=4，a-1=m，此时此时为减函数，不合题意.若0a1，有a-1=4，a2=m，故检验知符合题意.答案：【思考点评】
10、1.指数函数的底数不确定时应分类讨论指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a1和0a1两种情况讨论.2.根据函数的单调性确定其最值根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础.1.(2013济南模拟）设则()(A)y3y1y2 (B)y2y1y3(C)y1y3y2 (D)y1y2y3【解析】选C.y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5，1.81.51.44，21.821.521.44,y1y3y2.2.(2013合肥模拟）函数的值域为()(A)（-，1）(B)(C)(D)【解析】选C.x2+11
11、,在R上是减函数，3.(2013宜春模拟)已知函数则f（f(x)）-2=0的根的个数为()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【解析】选C.由题意，设1x3,则-1x-21,f(x-2)=2x-2，1x3时,f(x)=2x-2+1.令f(x)=t，f(f(x)-2=0,f(t)=2.若f(t)=2t=2,则t=1,f(x)=1,x=0.若f(t)=2t-2+1=2,则t=2,f(x)=2,x=1或2,f(f(x)-2=0的根的个数为3个.4.(2012上海高考）方程4x-2x+1-3=0的解是_.【解析】方法一：原方程4x-2x+1-3=0可化为（2x）2-22x-3=0，即（2x-3）（
12、2x+1）=0，由于2x0，xR，2x-3=0，即x=log23.方法二：令t=2x，则t0，原方程可化为t2-2t-3=0，解得t=3或t=-1（舍去），即2x=3，x=log23答案：x=log231.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=1-2-x，则不等式的解集是()(A)（-，-1）(B)（-，-1(C)（1，+）(D)1，+）【解析】选A.当x0时，f（x）=1-2-x0，又f（x）是R上的奇函数，所以的解集和的解集关于原点对称，由得即x1，则的解集是（-，-1）.2.若关于x的方程（a0且a1）有解，则m的取值范围是()(A)(B)(C)(D)1，+）【解析】选C.令t=ax，则t0，方程有解等价于方程有正根，则有解得
