1、2.2.2 间接证明知识梳理1.不是直接从命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法称为_（indirect proof)._就是一种常用的间接证明方法.2.反证法：一般地，假设原命题不成立.经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做_（reducation to absurdity).3.反证法的证明过程为“否定_”.4.反证法的一般步骤：（1）反设_.（2）归谬_.（3）存真_.知识导学 通过本节课的学习，认识反证法在证明问题中的重要作用，学会用反证法，证明有关命题，并且要注意根据题目的类型，合理选择运用证明问题的方法，学会寻找问题中的
2、矛盾，正确推理.疑难突破1.对反证法的理解： 从假设结论不成立入手，推出与“已知条件、假设、公理或显然成立的事实”等相矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立，这种方法叫做反证法. 反证法证题的特征：是通过导出矛盾、归结为谬误，而使命题得证.反证法的原理是“否定之否定等于肯定”. 反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确.即证明命题的逆否命题成立否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法，要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公
3、理、定理或显然成立的事实”等相矛盾. 反证法适宜证明存在性、惟一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题. 用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“”的反面为“”；“”的反面为“”；“”的反面为“”；“”的反面为“”；“”的反面为“”；“”的反面为“”或“”及“”. 反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”.其中：第一个否定是指“否定结论（假设）”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”. 反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导出矛盾，从
4、而肯定结论的真实性.2.应用反证法证明数学命题的一般步骤：（1）反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；（2）归谬：从反设和已知条件出发，应用正确的推理方法，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果.（3）存真：由矛盾结果、断定反设不真，从而肯定原结论成立.常见的主要矛盾有：与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾；与临时假设矛盾；与公认的事实或自相矛盾等.典题精讲【例1】 如图2-2-4所示，AB、CD为圆的两条相交弦、且不全为直径.求证：AB、CD不能互相平分.思路分析：要证AB与CD不能互相平分，从正面来证明难度很大，所以正难则反，采用反证法，假设AB与CD相互平分，
5、可以找出存在的矛盾.图2-2-4证明：假设AB、CD互相平分，连结AC、CB、AD、BD则ACBD为平行四边形.所以：ACB=ADB,CAD=CBD.因为四边形ACBD为圆内接四边形，所以ACB+ADB=180，CAD+CBD=180.因此，ACB=90，CAD=90.所以，对角线AB、CD均为直径，与已知矛盾.因此，AB、CD不能互相平分.绿色通道：反证法的关键是，在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾；或与假设矛盾；或与定义、定理、公理、事实矛盾等.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“归谬法（反证法）是数学家最有力的一件武器，比起象
6、棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明.象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”.黑色陷阱：在利用反证法证明问题时，一定要分清命题的条件和结论，假设时要对结论进行否定.【变式训练】 如图2-2-5所示，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的高线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上.图2-2-5证明（反证法）假设M在线段CD上，则BDBM=CMDC,且AB2=BD2+AD2,AC2=AD2+CD2,所以AB2=BD2+AD2BM2+AD2CD2+AD2=AC2,即AB2AC2,ABAC.这与ABAC矛盾，所以点M不在线段CD上.【例2】 若a、b、
7、c均为实数，且a=x2-2y+,b=y2-2x+,c=z2-2x+,求证：a、b、c中至少有一个大于0.思路分析：命题以否定形式出现（如不存在，不相交等），并伴有“至少”，“不都”，“都不”，“没有”，“至多”等指示性语句，在直接方法很难证明时，可以采用反证法.证明：假设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，则a+b+c0,而a+b+c=x2-2y+y2-2x+z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3-30，且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20,a+b+c0这与a+b+c0矛盾，因此，a、b、c中至少有一个大于0.绿色通道：在利用反证法证明时的实质是证明它的逆否
8、命题成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现.【变式训练】 已知：a、b、c是一组勾股数，即a2+b2=c2求证：a、b、c不可能都是奇数.证明：假设a、b、c都是奇数.a、b、c是一组勾股数,a2+b2=c2 a、b、c都是奇数,a2、b2、c2也都是奇数,a2+b2是偶数，这样式的左边是偶数，右边是奇数，产生矛盾.a、b、c不可能都是奇数.【例3】( 2006年北京高考卷，理20)在数列an中，若a1,a2是正整数，且an=an-1-an-2,n=3,4,5, ,则称an为“
9、绝对差数列”.（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（2）若“绝对差数列”an中，a20=3,a21=0.数列bn满足bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3,分别判断当n时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（3）任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.思路分析：本题以提出一个新概念的方式来考查数列的概念及极限的问题，背景新颖.解：（1）a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1（答案不惟一）；（2）解：因为在绝对差数列an中，a20=3，a21=0，所以自第20项开始，该数列是a2
10、0=3，a21=0,a22=3,a23=3,a24=0,a25=3,a26=3,a27=0, ，即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3.所以当n时，an的极值不存在.当n20时，bn=an+an+1+an+2=6.所以limnbn=6.（1）证明：根据定义，数列an必在有限项后出现零项，证明如下（用反证法）：假设an中没有零项，由于an=an-1-an-2,所以对于任意的n都有an1,从而当an-1an-2时，an=an-1-an-2an-1-1(n3);当an-1an-2时，an=an-2-an-1an-2-1(n3).即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1.
11、令Cn= n=1,2,3,则0CnCn-1-1(n=2,3,4, )由于a是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项Ck0，这与Cn0（n=1,2,3, )矛盾，从而an必有零项.若第一次出现的零项为第n项，记an-1=A(A0)，则自第n项开始，每三个相邻的项同期地取值0，A、A，即 k=0,1,2,3,所以绝对数列an中有无穷多个为零的项.绿色通道：在用反证法证题时，常用的主要矛盾为：与假设矛盾、与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾，与公认的事实相矛盾.【变式训练】 (2004年太原模拟，20)已知：f(x)=x2+px+q(1)求证：f(1)+f(3)-2f(2)=2;(
12、2)求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.证明：（1）f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于不成立，则假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2,这与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2相矛盾.因此假设不成立，从而原命题成立，即|f(1)|、|f(2)|
13、、|f(3)|中至少有一个不小于.问题探究问题：反证法与直接证法相比较，反证法具有哪些特点呢？探究：反证法与直接证法相比较，就会发现反证法具有如下特点：从推理论证的前提看，反证法增加了“反设”这个新的条件，下述情况常采用反证法.在一门学科开始的阶段，对一些最基本的性质的证明，由于这些基本性质予以成立的条件简明扼要，同时可使用的定理甚少，所以直接证明很困难.另外，在题目中含有“至多”，或“至少”形式的命题，“惟一性”命运，“否定式命题”，要证明的结论是“无限的”等，均可采用反证法.从推理论证的目标看，反证法无需专门去证某一特定的结论，只要设法推出一个逻辑矛盾就可以.从推理论证的方法看，反证法属于演绎推理.反证法具有分析法的特点，它们都是从命题的结论出发.不同的是：一个是从结论开始，另一个是从否定结论开始；一个是得到正确的结果而结束，另一个则是得到不成立的结果而结束.因此，反证法也可称为否定式的分析法.
