1、第五节 椭 圆(一)第七章 平面解析几何考 纲 要 求1掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质2理解数形结合的思想.课 前 自 修知识梳理椭圆焦点 焦距三、点P(x0，y0)和椭圆=1(ab0)的关系1点P(x0，y0)在椭圆外_.2点P(x0，y0)在椭圆上_.3点P(x0，y0)在椭圆内_.1=1四、椭圆的标准方程、性质标准方程 +=1(ab0)+=1(ab0)图形中心(0,0)(0,0)标准方程+=1(ab0)+=1(ab0)焦点F1(-c,0)，F2(c,0)F1(0，-c)，F2(0，c)顶点(a,0)，(0，b)(b,0)，(0，a)轴长长轴|A1A2|的长2a，短轴|B
2、1B2|的长2b，|B2O|=b，|OF2|=c，|B2F2|=a离心率e=(0eb0)+=1(ab0)范围|x|a，|y|b|y|a，|x|b对称性对称轴方程为x=0，y=0；对称中心为O(0,0)a，b，c的关系c2=a2-b2准线(属知识拓展)x=y=基础自测1(2012长春市模拟)椭圆x2+4y2=1的离心率为()A.B.C.D.2(2012长沙市调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()3(2012北京市海淀区模拟)已知椭圆=1，长轴在y轴上若焦距为4，则m等于()A4 B5 C7 D8解析：由题意得m210m 且10m0，于是6
3、m4)，由椭圆的定义知点C的轨迹是椭圆，其中a3，c2，b，但点C，A，B不能共线，因此y0.动点C的轨迹方程为：1,(y0)答案：(1)A(2)6(3)1,(y0)点评：本题运用了椭圆的定义来解题椭圆定义是用椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和来描述的，定义中|PF1|+|PF2|=2a|F1F2|.定义能够对一些距离进行相关的转化，往往起到简化解题过程，降低难度的效果因此在解题过程中，当遇到涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够使用椭圆的定义来解决变式探究1(1)椭圆+y2=1的两个焦点为F1，F2，过F1作与x轴垂直的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A1 B2
4、 C.D.(2)椭圆=1上的一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线的夹角为60，则F1PF2的面积为_考点二求椭圆的标准方程【例2】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)焦点在坐标轴上，且经过两点P ，Q ；(2)经过点(2，-3)且与椭圆9x2+4y2=36具有共同的焦点；(3)对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cosOFA=；(4)点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点思路点拨：对于(1)，由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一坐标轴上，因此应分别设出焦点在x轴，y轴上的标准方程，进
5、行讨论求解；或采用椭圆方程mx2+ny2=1(m0，n0，且mn)直接求解，避免讨论；对于(2)，由于椭圆9x2+4y2=36的焦点坐标为(0，)，因而可设所求的椭圆方程为=1(l0)，再由题设条件确定l的值即可；对于(3)，注意由椭圆的一个短轴端点，一个焦点，中心O为顶点组成的特征直角三角形，b，c，a分别是它的直角边和斜边；对于(4)，由题设条件设出椭圆的标准方程，求出焦距与长轴长是求解本题的关键因椭圆的焦点位置未明确在哪个坐标轴上，故应有两种情况点评：由于题(1)中的椭圆是唯一存在的，为了运算方便，可设其方程为mx2+ny2=1(m0，n0，且mn)，而不必考虑焦点的位置，直接求得椭圆的
6、方程；题(2)中椭圆9x2+4y2=36变形为=1，其焦点坐标为F1(0，)，F2(0，-)，所设的方程=1(l0)是具有共同焦点的F1(0，)，F2(0，-)的椭圆系方程遇到与本题类似的问题，我们可以采用类似的方法来求解椭圆的方程另外本题还可以设方程=1(l5)，=1(l-4)等解决一般说来，与椭圆=1(ab0)具有相同焦点的椭圆方程可设为=1(l-min(m，n)，其中|m-n|=c2.本题实质上运用的也是待定系数法题(3)由椭圆的一个短轴端点，一个焦点，中心O为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到2(2013北京市模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(-2,0)，且长轴长与
7、短轴长的比是2：.求椭圆C的方程；设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围变式探究考点三利用椭圆定义求点的轨迹方程【例3】一动圆与已知圆O1：(x+3)2+y2=1外切，与圆O2：(x-3)2+y2=81内切，则动圆圆心的轨迹方程是_解析：两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0)，r1=1；O2(3,0)，r2=9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知：M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3.b2=a2-c2=25-
8、9=16，故动圆圆心的轨迹方程为=1.点评：若注意利用椭圆的定义解题，常常会起到事半功倍的效果变式探究3已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线解析：|PF1|PF2|2a，|PQ|PF2|，|PF1|PF2|PF1|PQ|2a，即|F1Q|2a.动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆故选A.答案：A课时升华课时升华1本节重点是椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质，难点是理解参数a，b，c的关系及利用定义解决问题关键是注意数形结合、函数与方程的思想、等价转化的运用2椭圆
9、的定义是解决问题的出发点，如果运用恰当，可收到事半功倍之效3特别注意：椭圆方程中的a，b，c，e与坐标系无关，而焦点坐标，准线方程，顶点坐标与坐标系有关因此确定椭圆方程需要三个条件：两个定形条件a，b，一个定位条件：焦点坐标(1)椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如图所示)，它的三边长分别为a，b，c.易见c2=a2-b2，且若记OF1B2=q，则cos q=e.(2)椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在(3)椭圆标准方程
10、中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小两种标准方程中，总有ab0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型，并且椭圆的焦点总在长轴上；a，b，c的关系是c2=a2-b2；在方程Ax2+By2=C中，只要A，B，C同号且AB，就是椭圆方程感 悟 高 考品味高考2如图所示，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.高考预测1设F1，F2分别是椭圆=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|+|PF1|的最大值为_解析：|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|易知点M在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为10|MF2|1015.答案：15|PF2|2(2012湛江一中模拟)如图，设P是圆x2+y2=2上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且|PD|=|MD|，点A(0，)，F1(-1,0)(1)设在x轴上存在定点F2，使|MF1|+|MF2|为定值，试求F2的坐标，并指出定值是多少(2)求|MA|+|MF1|的最大值，并求此时点M的坐标.
