1、高考总复习高考总复习数学数学(文科)第三节 函数的奇偶性与周期性第二章 函数、导数及其应用高考总复习高考总复习数学数学(文科)考 纲 要 求1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2了解函数的周期性3会运用函数图象理解和研究函数的性质.高考总复习高考总复习数学数学(文科)课 前 自 修知识梳理一、函数的奇偶性1函数的奇偶性的定义对于函数f(x)，其定义域D关于原点对称，如果xD，恒有_，那么函数f(x)为奇函数；如果xD，恒有_，那么函数f(x)为偶函数2奇偶函数的性质(1)定义域关于原点对称；(2)偶函数的图象关于_轴对称，奇函数的图象关于_对称；(3)奇函数在对称区间的增减性_；偶函数在对称区
2、间的增减性_f(x)f(x)f(x)f(x)y原点相同相反高考总复习高考总复习数学数学(文科)3若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)，反之，也成立4若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)0.5判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：在定义域关于原点对称的情况下，(1)若f(x)f(x)0或1f(x)0，则f(x)为偶函数；(2)若f(x)f(x)0或1f(x)0，则f(x)为奇函数6设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，偶偶偶，奇奇偶，奇偶奇高考总复习高考总复习数学数学(文科)二、函数的周期性1周期函数定义：若T为非零常数，
3、对于定义域内的任一x，使得f(xT)f(x)恒成立，则f(x)叫做_，T叫做这个函数的_2周期函数的性质：(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(kZ，k0)也是它的一个周期；(2)f(xT)f(x)常写作f f ；(3)若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；(4)若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)(0)也是周期函数，且周期为.一个周期周期函数高考总复习高考总复习数学数学(文科)基础自测1(2012佛山市一模)下列函数中既是奇函数，又在区间(1,1)上是增函数的为()Ay|x|Bysin x CyexexDyx3解析：选项A，C中的函数为偶函数，排除A
4、，C.选项D中的函数在R上为减函数，排除D.故选B.答案：B高考总复习高考总复习数学数学(文科)2(2012大连市双基测试)定义在R上的函数f(x)在3，)上单调递减，且f(x3)是偶函数，则下列不等式正确的是()Af(3)f(4)f(1)Bf(1)f(3)f(4)Cf(3)f(1)f(4)Df(4)f(3)f(1)解析：函数f(x3)的对称轴为y轴，则函数f(x)的对称轴为x3，所以f(1)f(7)，又f(x)在3，)上单调递减，所以f(3)f(4)f(7)，即f(3)f(4)f(1)故选A.答案：A高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)4(2012上海卷)
5、已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，若g(x)f(x)2，则g(1)_.解析：yf(x)x2为奇函数，f(x)x2f(x)x2.f(x)f(x)2x2.g(1)f(1)2f(1)22f(1)1.答案：1高考总复习高考总复习数学数学(文科)考 点 探 究考点一函数奇偶性的判定【例1】判断下列各函数的奇偶性：思路点拨：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，若对称，再验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立高考总复习高考总复习数学数学(文科)f(x)为偶函数高考总复习高考总复习数学数学(文科)(3)所给函数的定义域为(，0)(0，)，它关于原点对称当x0，
6、则f(x)(x)2x(x2x)f(x)，当x0时，x0得1x1，定义域关于原点对称又f(x)f(x)lglglg 10，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称故选A.答案：A高考总复习高考总复习数学数学(文科)考点二奇(偶)函数的性质的应用【例2】(1)已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值为_(2)(2012深圳市调研改编)奇函数f(x)sin x (其中常数aR)的定义域为_思路点拨：利用奇偶函数的定义域关于原点对称和奇偶函数的定义解题高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)变式探究2(2011安徽卷)设f(x)是定义在R上的奇
7、函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()A3 B.1 C1 D3A高考总复习高考总复习数学数学(文科)考点三函数奇偶性、单调性的综合应用【例3】设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR.(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值解析：(1)当a0时，f(x)(x)2|x|1f(x)，此时f(x)为偶函数；当a0时，f(a)a21，f(a)a22|a|1，f(a)f(a)，且f(a)f(a)函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)变式探究3(2012邯郸市一模)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当xf(x)
8、，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1)高考总复习高考总复习数学数学(文科)解析：当x0时，g(x)g(x)ln(1x)ln(1x)，所以f(x)当x0时，由f(2x2)f(x)得(2x2)3x3，因为f(x)x3在R上为增函数，所以有2x2x，解得2x1，考虑到x0，得20时，由f(2x2)f(x)得ln(12x2)ln(1x)，所以有2x2x，考虑到x0，得0 x1.综上得2x0)，由f(1)f(4)0得a(12)25a(42)250，a2.f(x)2(x2)25(1x4)高考总复习高考总复习数学数学(文科)(3)解析：yf(x)(1x1)是奇
9、函数，f(0)0.又知yf(x)在0,1上是一次函数，可设f(x)kx(0 x1)，而f(1)2(12)253，k3.当0 x1时，f(x)3x，从而当1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x.又当4x6时，有1x51，f(x)f(x5)3(x5)3x15.当6x9时，10)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：函数f(x)满足f(x)f(a+x)，则f(x)是周期为2a的周期函数；若f(xa)(a0)恒成立，则f(x)是周期函数，且T2a；若f(xa)(a0)恒成立，则f(x)是周期函数，且T2a.高考总复习高考总复习数学数学(文科)感 悟 高 考品味高考1设函数f(x)和g
10、(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数解析：因为 g(x)是R上的奇函数，所以|g(x)|是R上的偶函数，从而f(x)|g(x)|是偶函数故选A.答案：A高考总复习高考总复习数学数学(文科)2(2012重庆卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的()A既不充分也不必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D充要条件高考总复习高考总复习数学数学(文科)解析：因为f(x)为偶函数，所以
11、若f(x)在0,1上是增函数，则f(x)在1,0上为减函数，又函数f(x)的周期是4，所以在区间3,4也为减函数若f(x)在区间3,4为减函数，根据函数的周期性可知，f(x)在1,0上为减函数，又函数f(x)为偶函数，根据对称性可知，f(x)在0,1上是增函数综上可知，“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为区间3,4上的减函数”成立的充要条件故选D.答案：D高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考总复习高考总复习数学数学(文科)高考预测1(2012银川一中月考)已知二次函数f(x)x2ax4，若f(x1)是偶函数，则实数a的值为()A1 B1 C2 D2解析：f(x1)(x1)2a(x1)4x2(2a)x5a，当且仅当一次项的系数为零时，二次函数为偶函数，所以2a0，得a2.故选D.答案：D高考总复习高考总复习数学数学(文科)2(2012福州市质检)设函数f(x)(xZ)，给出以下三个判断：f(x)为偶函数；f(x)为周期函数；f(x1)f(x)1.其中正确判断的序号是_
