1、小专题(六)相似三角形的辅助线添作技巧本专题主要通过添加适当的辅助线构造相似三角形,运用相似三角形的知识来解决数学问题.添作辅助线的方法有:添作平行线、添作垂线、连接线段等.类型1巧添平行线求线段的比1.如图,在ABC中,点D,E分别在BC,AC上,BE与AD交于点F,且BD=DC,AEAC=13,求AFFD的值.解:过点A作AGBC交BE的延长线于点G,则AEGCEB,AFGDFB,AGBC=AEEC=12,又BD=DC,AG=BD,AFFD=AGBD=1.2.如图,在ABCD中,E是BC的中点,在AB上截取BF=12FA,EF交BD于点G,求BGGD的值.解:过点E作EMAB交BD于点M,
2、则BFGMEG,BGGM=BFEM.ABCD,EMCD,BE=EC,BM=MD,EM=12CD,BF=12FA,BF=13AB,AB=CD,BFEM=BGGM=23,BM=MD,BGGD=28=14.类型2巧连线段证线段之间的关系3.如图,在正方形ABCD中,M为AD中点,以M为顶点作BMN=MBC,MN交CD于点N.求证:DN=2NC.解:延长MN,BC交于点E,连接MC,设AB=2a,则AM=a,BM=5a.由BAMCDM,则BM=MC,且BCM=CBM=BMN.BMCBEM.BMBE=BCBM,即5aBE=2a5a,BE=52a,CE=BE-BC=52a-2a=12a.四边形ABCD为正
3、方形,D=DCB=90,即D=NCE=90.DNM=CNE,MDNECN,DNNC=MDCE=a12a=2,即DN=2NC.4.如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处(AE为折痕,点E在CD上),在AD上截取DG,使DG=CF.求证:(1)ABFFCE;(2)BDGE.解:(1)四边形ABCD是矩形,ABF=C=ADC=90,BAF+BFA=90,由折叠的性质可得AFE=ADC=90,CFE+BFA=90,BAF=CFE,ABFFCE.(2)由(1)知EFAF=FCAB,又EF=ED,AF=AD,FC=GD,DEAD=GDAB.又BAD=GDE=90,BADGDE,ADB=
4、DEG,又ADB+BDC=90,DEG+BDC=90,BDGE.类型3巧添垂线求线段的长5.如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,点F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE,DB相交于点M,N,求MN的长.解:过点F作FHAD于点H,交ED于点O,则FH=AB=2,BF=2FC,BC=AD=3,BF=AH=2,FC=HD=1,AF=FH2+AH2=22+22=22,OHAE,HOAE=DHAD=13,OH=13AE=13,OF=FH-OH=2-13=53,AEFO,AMEFMO,AMFM=AEFO,即AMFM=153=35,AM=38AF=324,ADBF,ANDFN
5、B,ANFN=ADBF=32,AN=35AF=625,MN=AN-AM=625-324=9220.类型4巧添垂线求线段的比6.如图,在ABC中,AB=AC,E,F,G分别是BC,AB,AC上一点,FEG=2B.(1)求证:BFE=AGE;(2)若BECE=12,求EFEG的值.解:(1)2B+A=180,FEG+A=180,BFE=AGE.(2)过点E作EMAB于点M,作ENAC于点N,EMFENG,EFEG=EMEN,易证EBMECN,EMEN=BECE=12,EFEG=12.7.如图,ABC中,AB=AC,BAC60,D为BC延长线上一点,E为ACD内部一点,且ABE=ECD=45,求BEAC的值.解:作AFBC于点F,BGCE交EC的延长线于点G.AB=AC,BF=FC=12BC.ABE=ECD=BCG=45,CBG=45,BG=22BC=2BF.又ABF=EBG,RtABFRtEBG,BEAB=BGBF=2,BEAC=2.8.如图,将一个直角三角板的直角顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上滑动,并使其一条直角边始终经过点A,另一条直角边与BC相交于点E,且AD=10,DC=8,求APPE的值.解:过点P作PMAB于点M,PNBC于点N,易证APMEPN,则APPE=PMPN=ADDC=108=54.
