1、小专题(八)圆中常作的辅助线在解决有关圆的计算或证明题时,往往需要添加辅助线,根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要.圆中常见的辅助线的作法有:作半径,巧用同圆的半径相等;连接圆上两点,巧用同弧所对的圆周角相等;作直径,巧用直径所对的圆周角是直角;直线过圆上某一点,证明直线是圆的切线时,只需“连半径,证垂直,得切线”;直线与圆没有已知的公共点时,通常“作垂直,证半径,得切线”等.类型1连圆心,得半径1.如图,O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E,且CE=OB,已知DOB=72,则E等于(D)A.36B.30C.18D.242.如图,O是ABC的外接圆,ABO=35,则C的度数等于(C)A
2、.35B.45C.55D.653.如图,AB是O的直径,点C,D在O上,CEAB于点E,DFAB于点F,且AE=BF,AC与BD相等吗?为什么?解:AC与BD相等.理由如下:连接OC,OD,如图.OA=OB,AE=BF,OE=OF.CEAB,DFAB,OEC=OFD=90,在RtOEC和RtOFD中,OE=OF,OC=OD,RtOECRtOFD(HL),COE=DOF,AC=BD,AC=BD.类型2作垂直,用“垂径”4.如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D,已知AB=4,CD=2,点O到弦AB的距离等于1,那么这两个圆的半径之比为(C)A.32B.52C.52D.545.
3、如图,半圆O的直径AB=10 cm,弦AC=6 cm,AD平分BAC,则AD的长为(A)A.45 cmB.35 cmC.55 cmD.4 cm6.如图,O的半径为17 cm,弦ABCD,AB=30 cm,CD=16 cm,圆心O位于AB,CD上方,则AB和CD的距离为(B)A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm7.O的半径为10 cm,AB,CD是O的两条弦,且ABCD,AB=16 cm,CD=12 cm.则AB与CD之间的距离是2 cm或14 cm.8.如图,已知AB是圆O的直径,AB=10,弦CD与AB相交于点E,AEC=30,OEAE=23,求弦CD的长.解:过点O作OFCD于
4、点F,连接OD.AB=10,OA=OB=OD=5.OEAE=23,OE=2.AEC=30,OEF=30,OF=12OE=1.DF=OD2-OF2=26,由垂径定理得CD=2DF=46.类型3有直径,出直角9.如图,AB为O的直径,CD为O的弦,ACD=42,则BAD=(D)A.30B.21C.58D.4810.如图,ABC内接于O,AB是O的直径,BAC=60,弦AD平分BAC,若AD=6,那么AC=23.11.如图,在ABC中,以AC为直径的O分别交AB,BC于点D,E,连接DE,AD=BD,ADE=120.(1)试判断ABC的形状并说明理由;(2)若AC=2,求图中阴影部分的面积.解:(1
5、)ABC是等边三角形,连接CD.AC为O的直径,CDAB.AD=BD,AC=BC.ADE=120,ACE=60,ABC是等边三角形.(2)ABC是等边三角形,A=ACB=B=60,BED=BDE=B=60.BDE是等边三角形,BD=ED.AD=BD,DE=AD,DE=AD,S弓形DE=S弓形AD,S阴影=SDEB.AC=2,BD=1,S阴影=SDEB=34.类型4连半径,证垂直12.如图,AB是O的直径,AC是弦,弦AE平分BAC,EDAC,交AC的延长线于点D.(1)求证:DE是O的切线;(2)若AB=10,AC=6,求DE的长.解:(1)连接OE,OA=OE,BAE=OEA.弦AE平分BA
6、C,BAE=DAE.DAE=OEA,OEAC.EDAC,OEED,DE是O的切线.(2)过点O作OFAC于点F.EDAC,OFED,AF=12AC=126=3.OEAC,四边形OEDF是矩形,OF=DE.OA=12AB=1210=5,OF=OA2-AF2=4,DE=4.类型5作垂直,证半径13.如图,在RtABC中,B=90,A的平分线与BC相交于点D,点E在AB上,DE=DC,以D为圆心,DB长为半径作D.(1)AC与D相切吗?(2)你能找到AB,BE,AC之间的数量关系吗?解:(1)AC与D相切.(2)AC=AB+BE.类型6连切点,得垂直14.如图,O与矩形ABCD的边BC相切于点G,与
7、AD相交于点E,F,若EF=CD=4,则O的半径为2.5.15.(丽水中考)如图,在RtABC中,C=90,以BC为直径的O交AB于点D,切线DE交AC于点E.(1)求证:A=ADE;(2)若AD=16,DE=10,求BC的长.解:(1)连接OD,DE是切线,ODE=90.ADE+BDO=90.ACB=90,A+B=90.OD=OB,B=BDO.ADE=A.(2)连接CD.ADE=A,AE=DE.BC是O的直径,ACB=90,EC是O的切线,ED=EC.AE=EC.DE=10,AC=2DE=20.在RtADC中,DC=202-162=12,设BD=x,在RtBDC中,BC2=x2+122,在RtABC中,BC2=(x+16)2-202,x2+122=(x+16)2-202,解得x=9,BC=122+92=15.
