1、限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业06 等腰（等边）三角形的性质与判定1.等腰三角形：有两条边相等的三角形是等腰三角形.腰：相等的两边；底边：不相等的那条边；顶角：两腰的夹角；底角：腰与底边的夹角.2.等腰三角形的性质与判定：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称等边对等角）.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）.判定：若一个三角形的两角相等，则这个三角形是等腰三角形（简称等角对等边）.3.等边三角形的性质与判定：等边三角形：有三条边相等的三角形是等边三角形.性质：等边三角形的三条边和三个角都相等，且每个角都等于 60.判
2、定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.判定2：有两个角是60的三角形是等边三角形.判定3：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.1下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（）A，BCD三个角的度数之比是【答案】D【解析】A，不是等腰三角形，故选项A错误；B，不是等腰三角形，故选项B错误；C，而无法判断与的大小，不是等腰三角形，故选项C错误；D三个角的度数之比是，三个角的度数分别是，是等腰三角形，故选项D正确.故选D2已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A或BCD或【答案】D【解析】如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，由题意可知，；如图，当该等腰三角形为钝
3、角三角形时，由题意可知，综上可知这个等腰三角形的顶角度数为或，故选D3等腰三角形的两条边长分别为3，7，则等腰三角形的周长为 【答案】17【解析】根据题意，当腰长为时，不能构成三角形；当腰长为时，符合题意，周长，故答案为：4如图，为等边三角形，为边上的高，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图(1)在图中，作的平分线；(2)在图中，以点为顶点作三角形，使所作三角形的面积等于面积的【解析】（1）的平分线如图1所示. 图1 图2（2）如图2，（或）即为所求.5如图，在中，作出边的垂直平分线，交于点，交于点，连接(1)下列结论正确的是 （填序号）平分；的周长等于；(2)结论正确的说明理由【解析
4、】（1）如图所示，结论正确的是：，故答案为：.（2）理由如下：，是边的垂直平分线，BD平分，故结论正确；，故结论正确；，的周长为：，故结论正确；，故结论错误；综上所述：正确的结论是6已知是上一点.(1)用无刻度的直尺和圆规作图，过点作于点，延长交延长线于（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：是等腰三角形【解析】（1）作图如下：（2），而，为等腰三角形7如图，在中，且(1)在边的延长线上求作点，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的作图条件下，若，求的度数【解析】（1）如图所示.（2），.8已知：如图，中，平分，平分，过D作直线平行于，分别交，于点E，F(1)求证：是等
5、腰三角形；(2)求的周长【解析】（1），平分，是等腰三角形.（2），平分，的周长为：9如图，点D，E，F在等边的边上，且(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长【解析】（1）是等边三角形,，同理，是等边三角形；（2）由（1）可知：是等边三角形，在和中，在中，cm，cm，10如图，在中，于点D，平分，分别与交于点E，F(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长【解析】（1），平分，是等边三角形；（2），由（1）知是等边三角形，11如图，在中，点D、E在上，(1)从，中，选择一个作为条件，另外一个作为结论，构成一个真命题，并证明； 条件： ， 结论： (填序号)(2)在(1)的条件下，当时， 求
6、的度数【解析】（1）条件：； 结论：；证明：，在和中，；（2），是等边三角形， 12如图，在等边中，是边上的高，在下列结论中：；正确的是 （填序号）【答案】【解析】等边中，是边上的高，在与中，故正确；，在与中，故正确；在与中，故正确；同理，故正确，故答案为：13已知，如图，为等边三角形，、相交于点P，于Q(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长【解析】（1）为等边三角形，；（2）由（1）知，；（3）由（2）知，即14如图，过等边的顶点在内部作射线，（且），点A关于射线的对称点为点，直线交于点，连接，(1)依据题意，补全图形；(2)在（且）变化的过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请
7、直接写出变化的范围；如果不发生变化，请求出的大小；(3)连接交于点，用等式表示线段，之间的数量关系，并给予证明【解析】（1）补全图形如图1所示. （2）不发生变化，；点A关于射线的对称点为点，是等边三角形，不发生变化，；（3）线段，之间的数量关系为：；证明：如图，在上取一点，使，连接，是等边三角形，点A关于射线的对称点为点，则15定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”若等腰是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 【答案】6【解析】ABC是等腰三角形，底边BC=3 ，AB=AC，当AB=AC=2BC时，ABC是“倍长三角形”；当BC=2AB=2AC时
8、，AB+AC=BC，根据三角形的三边关系，可知此时构不成三角形，不符合题意，所以当等腰ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3时，腰AB的长为6故答案为616如图1，是等边三角形的边所在直线上一点，是边所在直线上一点，且与不重合，若，则称为点关于等边三角形的反称点，点称为反称中心在平面直角坐标系中，(1)已知等边三角形的顶点的坐标为，点A在第一象限内，反称中心在直线上，反称点在直线上如图2，若为边的中点，在图中作出点关于等边三角形的反称点，并直接写出点的坐标： ；若，求点关于等边三角形的反称点的坐标；(2)若等边三角形的顶点为，反称中心在直线上，反称点在直线上，且，请直接写出点关于等边三角形的
9、反称点的横坐标的取值范围：_（用含的代数式表示）.【解析】（1）如图2，过点作，垂足为， ，点的坐标为，点是的中点，点的坐标为，故答案为：；等边三角形的两个顶点为，是等边三角形的边所在直线上一点，且，点与坐标原点重合或点在边的延长线上，如图3，若点与坐标原点重合，是边所在直线上一点，且与不重合，点的坐标为，如图4，若点在边的延长线上， 图4 为等边三角形，点与点重合这与题目条件中的与不重合矛盾，故这种情况不合题意，综上所述：；（2），点在的延长线上或在的延长线上，如图5，点在的延长线上，过点A作，过点作，图5，点的坐标为，如图6，点在的延长线上，过点A作，图6同理可得：点的横坐标的取值范围：，
10、综上所述：点的横坐标的取值范围是：或，故答案为：或17（2023江苏宿迁中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（）ABCD【答案】C【解析】等腰三角形有一个内角为，这个等腰三角形的底角是，故选C18（2023浙江台州中考真题）如图，锐角三角形中，点D，E分别在边，上，连接，下列命题中，假命题是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】A【解析】，若，又，与满足“”的关系，无法证明全等，因此无法得出，故A是假命题；若，在和中，故B是真命题；若，则，在和中，故C是真命题；若，则在和中，故D是真命题.故选A19（2023内蒙古通辽中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s【答案】1【解析】如图，设点P的运动时间为，由题意得，和是等边三角形，解得故答案为120（2023新疆中考真题）如图，在中，若，则 【答案】【解析】，即，解得，故答案为：21（2023湖北荆门中考真题）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接求证：【解析】为等边的中线，.
