1、第七节正弦定理和余弦定理三年18考高考指数:掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点.2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.3.在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题.1.正弦定理分类内容定理变形公式解决的问题已知两角和任一边，求其他两边和另一角.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.【即时应用】(1)思考：在ABC中，sinAsinB是AB的什么条件？提示:充要条件.因为sinAsinBabAB.(2)在ABC中，B30，C120，则abc_.【解析
2、】A1803012030，由正弦定理得：abcsinAsinBsinC11答案：112.余弦定理分类内容定理变形公式解决的问题已知三边,求各角.已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.【即时应用】(1)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为_.(2)在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A为_.【解析】(1)设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为(2)由已知得b2c2a2bc，cosA又0A，答案：(1)(2)3.三角形中常用的面积公式(1)(h表示边a上的高);(2)=_=_；(3)(r为三角形的内切圆半径).【即时应用】(1)在ABC中，
3、A60，AB1，AC2，则SABC的值为_.(2)在ABC中，则SABC_.【解析】(1)(2)在ABC中，cosAsinA答案：(1)(2)利用正、余弦定理解三角形【方法点睛】解三角形中的常用公式和结论(1)A+B+C=.(2)0A，B，C，sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC，tan(A+B)=-tanC.(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然；三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.【例1】根据下列条件解三角形(1)在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又b4，且BC边上的高则角C=_.(2)在ABC中，已知ABC，且A=2C,
4、b=4,a+c=8，则a=_,c=_.(3)已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x23x20的根，则第三边长是_.【解题指南】(1)作出高，利用直角三角形中的边角关系直接求得；(2)正弦定理和余弦定理结合应用求得；(3)利用方程求出余弦值，再利用余弦定理求得.【规范解答】(1)由于ABC为锐角三角形，过A作ADBC于D点，则C60.(2)由正弦定理又A=2C,所以即由已知a+c=8=2b及余弦定理，得 整理得(2a-3c)(a-c)=0,ac,2a=3c.a+c=8,(3)解方程可得该夹角的余弦值为由余弦定理得：425224521，第三边长是答案：(1)60 (2)(3)【
5、反思感悟】1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意根据已知条件用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.2.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数absinAa=bsinAbsinAabab无解一解两解一解一解无解AabCBCAabB1B2ACaabCAabBBCABAaabbC利用正、余弦定理判断三角形形状【方法点睛】1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断
6、(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径通过正弦定理和余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；利用正弦定理、余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A、B、C 的范围对三角函数值的影响.【例2】在ABC中，判断ABC的形状.【解题指南】此题主要是利用正弦定理转化成边或角，作出判断即可.【规范解答】方法一：asinAbsinB.由正弦定理可得：a2
7、=b2，ab，ABC为等腰三角形.方法二：asinAbsinB.由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2B，即sinAsinB，AB.(AB不合题意舍去)故ABC为等腰三角形.【反思感悟】三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论.与三角形面积有关的问题【方法点睛】三角形的面积公式(1)已知一边和这边上的高:(2)已知两边及其夹角：(3)已知三边：(4)已知两角及两角的共同边：(5)已知三边和外接圆半径R，则【例3】(1)已知ABC中，a8，b
8、7，B60，则c=_，SABC=_.(2)(2011山东高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知求的值；若求ABC的面积S.【解题指南】(1)可利用正弦定理求出角C的正弦值,再求出边长c,进而求面积;也可利用余弦定理求出边长c，再求面积.(2)可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式求解;也可先转化式子,然后利用余弦定理推出边的关系,再利用正弦定理求解.应用余弦定理及的结论求得a和c的值，然后利用面积公式求解.【规范解答】(1)方法一:由正弦定理得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=由得c1=5,c2=3.方法二:由余弦定理得b2
9、=c2+a2-2cacosB,72=c2+82-28ccos60,整理得:c2-8c+15=0,解得:c1=3,c2=5,或答案：3或5 或(2)方法一:在ABC中，由及正弦定理可得即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB，则cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB，sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=，则sinC=2sinA，方法二：在ABC中，由可得bcosA-2bcosC=2ccosB-acosB，由余弦定理可得整理可得c=2a，由正弦定理可得由c=2a及b=2可得4=c2+a2-2accosB=4a2
10、+a2-a2=4a2,则a=1，c=2，即【反思感悟】1.运用正、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理、面积公式.2.明确所需要求的边、角，(1)若已知量与未知量全部集中在一个三角形中时，可选择正、余弦定理求解；(2)若涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形的解，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程求解.【满分指导】解三角形问题的规范解答【典例】(12分)(2011辽宁高考)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=(1)求(2)
11、若求B.【解题指南】(1)根据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得；(2)先结合余弦定理和已知条件求出cosB的表达式，再利用第(1)题的结论进行化简即得.【规范解答】(1)由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=即sinB(sin2A+cos2A)=3分故所以6分(2)由余弦定理及得由(1)知b2=2a2，故10分可得又cosB0，故所以B=45.12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：失分警示解答本题时有以下三点容易造成失分：(1)看到第一问所求是边的比值,进而在边角互化时将角化为边,使问题复杂化而得不到正确答案.(2)利用余
12、弦定理后没有结合第一问的结果而使后面求解无法进行.(3)由求cosB时，忽略了判断角B的取值范围而产生错解.备考建议在解决三角形问题时还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)忘记或不会应用三角形中的隐含条件.(2)求边、角时,忽略其范围.(3)应用正、余弦定理时计算失误.另外,要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等变换,才能快速正确地解决解三角形问题.1.(2012济宁模拟)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a=7，b=3，c=5，则角A等于()【解析】选A.在ABC中，a=7，b=3，c=5，又0A，A=2.(2011安徽高考)已知ABC的一个内角为120，并
13、且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_.【解析】设三角形中间边长为x，则另两边的长为x-4，x+4，那么(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos120，解得x=10，所以SABC=106sin120=答案：3.(2011福建高考)如图，ABC中，AB=AC=2，点D在BC边上，ADC=45，则AD的长度等于_.【解析】在ABC中，由余弦定理易得C=30,B=30.在ABD中，由正弦定理得：答案：4.(2011新课标全国卷)ABC中，B=120，AC=7，AB=5，则ABC的面积为_.【解析】设AB=c,BC=a,AC=b，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得49=a2+25-25a解得a=3，答案：5.(2011北京高考)在ABC中，若b=5,则a=_.【解析】由正弦定理，得所以答案：
