1、泰宁一中2018-2019学年上学期第二次阶段考试高二理科数学科试卷（考试时间：120分钟；满分150分）一选择题：（共12小题，每小题5分，共60分. 每小题四个选项中有且只一个正确.）1、若命题p：，则命题为（ ）A.不存在 B.C. D.2 . “”是“直线和直线互相垂直”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 已知向量(0,1,-1)，（2,1,0），且+k与2互相垂直，则k的值为( )A. 1 B. -1 C. D.4设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（，）（=1，2，n），用
2、最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是( )Ay与x具有正的线性相关关系 B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg5执行如图所示的算法框图，输出的S值为( ) A64 B4 C8 D166我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A134石 B169石 C338石 D1 365石 7. 如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点, ( ) A
3、. B.C. D.8.连续掷两次骰子,以先后得到的点数为点P的坐标,那么点P在圆内部的概率是( ) A. B. C. D.9.已知双曲线的两条渐近线均和圆C：相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线与椭圆交于A、B 两点, 若是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则离心率为( ) A. - 1 B. C. D.11. 已知集合M=(x,y)|x0,2,y-1,1. 则x+y0的概率是( ). A. 0.5 B. 0.25 C.0.125 D. 0.87512.已知向量a=(x,y),b=(cos ,sin ),
4、其中x,y,R.若|a|=4|b|,则使ab3或1或-1 C.-33 D.-11二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡题中横线上）13某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为 14. 若双曲线的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，则双曲线的渐近线方程 为 .15. 已知长方体中，E为CD的中点，则点到平面的距离为 .16. 已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点，A、B分别为C的左右顶点。P为C上一点，且PFx轴。过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为
5、.三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题10分） 已知椭圆方程为离心率且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点P(2,1)作一弦,使弦被这点平分,求此弦所在直线的方程。18. （本题12分）已知命题，命题q: (x+m-1)(x-m-1)0) 若是的充分条件，求实数的取值范围； 若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围19.(本题12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=,ABC=60. (1)证明:ABA1C; (2)求二面角A-A1C-B的正切值大小.20.（本题12分）某班级体育课举行了一次“投篮比赛
6、”活动,为了了解本次投篮比赛学生总 体情况,从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示： (1)分别求甲乙两个小组成绩的平均数；(2)估计甲乙两个小组的成绩的方差大小关系；(3)甲组高于70分的同学中,任意抽取2名同学,求恰好有一名同学的得分在80,90)的概率。21.(本小题12分) 如图，正方形与梯形所在平面互相垂直， ，点在线段上且不与重合。（1）当点是中点时，求证： /平面；（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.22.(本小题12分)给定椭圆C：1(ab0)，称圆心在原点O，半径为的圆 是椭圆C的“海中圆”若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F
7、的距 离为. (1)求椭圆C的方程和其“海中圆”方程； (2)点P是椭圆C的“海中圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C 都只有一个交点求证：l1l2.泰宁一中2018-2019学年上学期第二次阶段考试高二理科数学科试卷答案一、选择题 DCADC BCCBD DB 二、填空题 13. 3 14. 15. 16. 三、解答题17.解： （2）18.(1) m4 (2) (-4,-1)(5,6) 19.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=,ABC=60.(1)证明:ABA1C; (2)求二面角A-A1C-B的正切值大小.解:法一 (1)因为三棱
8、柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以AA1AB,AA1AC.在ABC中,AB=1,AC=,ABC=60.由正弦定理得ACB=30,所以BAC=90,即ABAC.如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0),A1(0,0,),所以=(1,0,0),=(0,-).因为=10+0+0(-)=0,所以ABA1C.(2)取m=(1,0,0)为平面AA1C1C的法向量.设平面A1BC的法向量n=(x,y,z),则所以所以x=y,y=z.令y=1,则n=(,1,1),所以cos=,所以sin=,所以tan=.所以二面角A-A1C-B的正切值为.法二 (1)因为三棱柱ABC-
9、A1B1C1为直三棱柱,所以ABAA1.在ABC中,AB=1,AC=,ABC=60.由正弦定理得ACB=30,所以BAC=90,即ABAC,所以AB平面ACC1A1.又因为A1C平面ACC1A1,所以ABA1C.(2)如图,作ADA1C交A1C于D点,连接BD. 因为ABA1C,所以A1C平面ABD,所以BDA1C,所以ADB为二面角A-A1C-B的平面角.在RtAA1C中,AD=,在RtBAD中,tanADB=,所以二面角A-A1C-B的正切值为.20.(1)甲平均数=68 乙平均数=68 （2）估计甲成绩的方差大于乙成绩的方差 （3）21如图，正方形与梯形所在平面互相垂直， ，点在线段上且
10、不与重合。（1）当点是中点时，求证： /平面；（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.21、 解：（1）以分别为轴建立空间直角坐标系. 1分 则 . 3分 的一个法向量. . 4分 ，。即. . 5分 （2）依题意设，设面的法向量则， . 7分 令，则，面的法向量. 8分 ，解得. 10分 为EC的中点，到面的距离 . 12分 22 给定椭圆C：a2(x2)b2(y2)1(ab0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“海中圆”若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.(1)求椭圆C的方程和其“海中圆”方程；(2)点P是椭圆C的“海中圆”上的一个动点，
11、过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点求证：l1l2.解：(1)因为c，a，所以b1，所以椭圆的方程为3(x2)y21，“海中圆”的方程为x2y24. 4分 (2)当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x或x. 5 分当l1方程为x时，此时l1与“海中圆”交于点(，1)，(，1)，此时经过点(，1)(或(，1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y1(或y1)，即l2为y1(或y1)，显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为x时，直线l1，l2垂直. 8分 当l1，l2都有斜率时，设点P(x0，y0)，其中x0(2)y0(2)4，设经过点P(x0，y0)，与椭圆只有一个公共点的直线为yt(xx0)y0，则，消去y得到x23tx(y0tx0)230，即(13t2)x26t(y0tx0)x3(y0tx0)230，6t(y0tx0)24(13t2)3(y0tx0)230，化简得：(3x0(2)t22x0y0t1y0(2)0，因为x0(2)y0(2)4，所以有(3x0(2)t22x0y0t(x0(2)3)0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程(3x0(2)t22x0y0t(x0(2)3)0，所以t1t21，即l1，l2垂直 . 12分
