1、福建省厦门市2020届高三数学下学期3月第一次质量检测试题 理完卷时间：3月8日 2:30-4:30 满分：150分一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知,则A. B. C. D. 2.设，则A. B. C. D. 3.中国武汉于2019年10月18日至2019年10月27日成功举办了第七届世界军人运动会.来自109个国家的9300余名运动员同台竞技.经过激烈的角逐,奖牌榜的前3名如下：国家金牌银牌铜牌奖牌总数中国1336442239俄罗斯515357161巴西21313688某数学爱好者采用分层抽样的方式,从中国和巴西获得金
2、牌选手中抽取了22名获奖代表.从这22名中随机抽取3人, 则这3人中中国选手恰好1人的概率为A. B. C. D. 4已知等差数列的前项和为，公差为2，且是与的等比中项，则的值为A110 B90 C90 D1105.已知函数, 给出以下四个结论：(1) 是偶函数； (2) 的最大值为2； (3) 当取到最小值时对应的；(4) 在单调递增,在单调递减.正确的结论是A. (1) B. (1)(2)(4) C. (1)(3) D.(1)(4)6. 已知正四棱柱的底面边长为1，高为2，为的中点，过作平面平行平面，若平面把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为A B C D7.设,则的大小
3、关系为A. B. C. D. .8.函数的最小正周期与最大值之比为A. B. C. D. 9. 已知三角形为直角三角形,点为斜边的中点, 对于线段上的任意一点都有, 则的取值范围是A. B. C. D. 10中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制大衍历发明了一种近似计算的方法二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数，若，则在区间上可以用二次函数来近似代替，其中，.若令，请依据上述算法，估算的近似值是ABCD11.已知双曲线的右支与抛物线相交于两点,记点到抛物线焦点的距离为,抛物线的准线到抛物线焦点的
4、距离为,点到抛物线焦点的距离为,且构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为A . B. C. D.12. 已知方程只有一个实数根,则的取值范围是A.或 B.或 C. D.或二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.的展开式中二项式系数最大的项为 .14.高三年段有四个老师分别为, 这四位老师要去监考四个班级, 每个老师只能监考一个班级, 一个班级只能有一个监考老师. 现要求老师不能监考班,老师不能监考班,老师不能监考班,老师不能监考班,则不同的监考方式有 种.15.已知圆:, 圆:. 若圆上存在点,过点作圆的两条切线. 切点为,使得,则实数的取值范围是 16.已知正方体的棱长为3.
5、点是棱的中点,点是棱上靠近点的三等分点. 动点在正方形(包含边界)内运动, 且面,则动点所形成的轨迹的长度为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17. （12分）已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）在锐角中， 分别为角，的对边，且满足，求的取值范围.18. (12分)在三棱柱中，已知，为的中点，（1）证明四边形为矩形；（2）求直线与平面所成角的余弦值.19. (12分)根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正
6、态分布（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于克该海产品的概率（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量现用以往的先进养殖技术投入（千元）与年收益增量（千元）（）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，且， ，其中， =根据所给的统计量，求关于的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量附：若随机变量，则，；对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 20.（12分）在平面直角坐标系中， 圆，点，过的直线与圆交于点，过做直线平行交于点（1）求点的轨迹的方程；
7、（2）过的直线与交于、两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值21（12分）已知函数有两个零点.（1）求的取值范围；（2）记的极值点为，求证：.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分22选修：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy下，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C1在变换T：的作用下变成曲线C2（1）求曲线C2的普通方程；（2）若m1，求曲线C2与曲线C3：y=m|x|-m的公共点的个数23选修：不等式选讲（10分）已知函数（1）当m=5时，求不等式的解集；（2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围数学（理科）模拟试
8、题答案评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分60分1C 2B 3C 4D 5C 6C7B 8C 9C 10A 11A 12A【选择题详解】1.
9、 解析:选C. ,则.2. 解析:选B. ，则. 3. 解析:选C.中国和巴西获得金牌总数为154,按照分层抽样方法,22名获奖代表中有中国选手19个,巴西选手3个.故.4解析：选D.因为是与的等比中项，所以，又数列的公差为，所以，解得，故，所以5.解析:选C ，通过偶函数定义判断可知为偶函数，求导作出下图. 6. 解析：选C分别取中点，易知平面平行于平面，又平面过点，平面平行于平面，所以平面与平面是同一个平面，所以体积较小的几何体等于. 7.解析:选B.,由于,所以.8. 解析:选C.去绝对值作出图象得函数最小正周期为,最大值为,所以最小正周期与最大值之比为.9. 解析:选C.由已知可得.设
10、.当与重合时,符合题意;当与重合时,代入,得,此时.故.此时由,得,即,结合可得.10解析:选A.函数在，处的函数值分别为，故，故，即，所以.故选A11. 解析:选A .设,抛物线焦点为.由已知有,即.由.两式相减得,即,故,所以渐近线方程为.12. 解析:选A.令.转化成,即令,显然问题转化成函数在上只有一个零点1若,则在单调递增,此时符合题意；若,则在单调递增,此时符合题意；若记开口向下,对称轴，过，.当时,即时，在单调递减，此时符合题意；当时，即，时，设有两个不等实根，.又，对称轴，所以。则在单调递减，单调递增，单调递增。由于所以取,记 令则，所以结合零点存在性定理可知,函数在存在一个零
11、点,不符合题意.综上,符合题意的的取值范围是或.二填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，共20分13 14 15 16 【填空题详解】13.解析:.14.解析:当老师监考班时,剩下的三位老师有3种情况,同理当老师监考班时,也有3种,当老师监考班时,也有3种,共9种.15.解析:由已知有,即点的轨迹方程为圆:.问题转化为圆和圆有公共点.则,故.16.解析:由于面,所以点在过且与面平行的平面上.取中点,取,则面面.延长,延长,交于点,连接,交于点.显然,面面,所以点的轨迹是线段.易求得.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须
12、作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17. 解：（1） ,3分由得所以的单调递减区间为6分（2）由正弦定理得,即,得解得9分为锐角三角形，解得的取值范围为.12分18. (12分)解：(1)连接,因为为的中点，可得，1分， ， 2分又，3分， ，又四边形为平行四边形，四边形为矩形.5分(2)如图,分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系,则6分中，中，7分设平面的法向量是,由得即，可取,9分设直线与平面所成角为，则，,11分， 即直线与平面所成角的余弦值为.12分19. 解：（1）由已知，单只海产品质量，则，1分由正态分布的对称性可知，3分 设购买10只该商家
13、海产品，其中质量小于的为只，故，故，所以随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于克的概率为.6分（2）由，有，8分且，9分所以关于的回归方程为，10分当时，年销售量的预报值千元.所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为千元. 12分20. 解：（1）因为，又因为，所以，1分所以，2分所以的轨迹是焦点为，长轴为的椭圆的一部分，设椭圆方程为，则，所以，所以椭圆方程为，3分又因为点不在轴上，所以，所以点的轨迹的方程为.4分（2）因为直线斜率不为0，设为，5分设，联立整理得，所以，6分所以，8分， 设四边形的面积为，则 10分令，再令，则在单调递增，所以时，此时，取得最小值，所以.
14、12分21解：（1）因为，1分当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意，舍去；2分当时，若，则；若，则，所以在单调递增，在单调递减，3分所以，因为有两个零点，所以必须，则，所以，解得.又因为时，； 时，所以当时，在和各有一个零点，符合题意，综上，.4分（2）由（1）知，且，因为的两个零点为，所以所以5分解得，令所以，6分令函数，则，当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，所以，8分因为，又因为，所以，所以，即，要证，只需，9分即证，即证，即证10分令，再令，即证，令，则，11分所以在单调递增，所以，所以，原题得证. 12分（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中
15、任选一题作答。如果多做，则按所做第一个题目计分。22解：（1）因为曲线C1的参数方程为 所以曲线C1的普通方程为， 2分将变换T：即代入，得，4分所以曲线C2的普通方程为5分（2）因为m1，所以C3上的点A（0,-m）在椭圆E：外6分当x0时，曲线E的方程化为，代入，得，（*）因为，所以方程（*）有两个不相等的实根x1，x2，又，所以x10，x20，所以当x0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，8分又因为曲线C2与曲线C3都关于y轴对称，所以当x0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，9分综上，曲线C2与曲线C3：y=m|x|-m的公共点的个数为410分23解：（1）当m=5时，,或或3分或或或或或，所以不等式的解集为x|或5分（2）由条件，有当时，不等式，即恒成立，6分令，则因为7分 ，且，9分所以，所以m8，即实数m的取值范围为（，8）10分14
