1、第二节随 机 抽 样1.简单随机抽样（1）定义：设一个总体含有N个个体，随机地抽取n个个体作为样本（nN），在抽取的过程中，要保证每个个体被抽到的_，这样的抽样方法叫作简单随机抽样.（2）常用方法：_和_.概率相同抽签法随机数法2.系统抽样系统抽样是将总体中的个体进行编号,等距分组，在第一组中按照_抽样抽取第一个样本,然后按_(称为抽样距)抽取其他样本,这种抽样方法有时也叫_或_.简单随机分组的间隔等距抽样机械抽样3.分层抽样将总体按其_分成若干类型（有时称作层），然后在每个类型中按照所占比例_抽取一定的样本，这种抽样方法叫作分层抽样，有时也称为_.属性特征随机类型抽样判断下面结论是否正确（请
2、在括号中打“”或“”）.(1)简单随机抽样中总体的个数有限.()(2)简单随机抽样从总体中逐个抽取.()(3)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.()(4)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.()(5)分层抽样是将相似的个体归入一层（类），然后每层各抽相同的个体数构成样本，分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行每层等可能抽样.()【解析】由简单随机抽样的特点知(1)，(2)正确.(3)错误.简单随机抽样是等可能抽样，即各个个体被抽到的机会相等，与先后顺序无关(4)正确.系统抽样在起始部分抽样时采用抽签法或随机数法.(5)错误.分层抽样也叫按比例抽样.在每层用同一抽样比
3、等可能抽样，抽取的个体数不一定相同.答案：(1)(2)(3)(4)(5)1为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是()(A)1 000名运动员是总体(B)每个运动员是个体(C)抽取的100名运动员是样本(D)样本容量是100【解析】选D.这个问题我们研究的是运动员的年龄情况,A,B,C项都不正确.2某学校进行问卷调查，将全校5 600名同学分为100组，每组56人按156随机编号，每组的第18号同学参与调查，这种抽样方法是()(A)简单随机抽样(B)分层抽样(C)系统抽样(D)分组抽样【解析】选C.一般地，要从容量为N的总
4、体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫作系统抽样3.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为347，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为()(A)50 (B)60 (C)70 (D)80【解析】选C.由分层抽样方法得解得n70，故选C.4.为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一
5、位同学的编号应是()(A)13 (B)19 (C)20 (D)51【解析】选C.由系统抽样的原理知抽样的间隔为13，故抽取的样本的编号分别为7,713,7132,7133，即7号、20号、33号、46号5从总数为200的一批零件中抽取一个容量为n的样本.若每个个体被抽取的可能性为0.1，则n=_.【解析】n=20.答案：20考向 1简单随机抽样【典例1】(1)下列抽取样本的方法是否属于简单随机抽样？从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检
6、验.某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.(2)第三十届夏季奥林匹克运动会于2012年7月27日在伦敦举行，伦敦某大学为了支持奥运会，从报名的60名大三学生中选10人组成志愿小组，请用抽签法和随机数法设计抽样方案【思路点拨】(1)根据简单随机抽样的特点逐一判断.(2)抽签法的操作要点:编号、制签、搅匀、抽取;随机数法的操作要点:编号、选起始数、读数、获取样本.【规范解答】(1)不是简单随机抽样.由于被抽取的样本总体的个体数是无限的，而不是有限的.不是简单随机抽样.由于它是放回抽样.不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取.不是简单随机抽样.因为指定个
7、子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样.（2）抽签法第一步，将60名志愿者编号，编号为1,2,3，60.第二步，将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签.第三步，将60个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀.第四步，从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号.第五步，所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员随机数法第一步，将60名学生编号，编号为00,01,02，59.第二步，在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向依次读取两位数.第三步，凡不在0059中的两位数或已读过的两位数，都跳过去不作记录，依次记录下得数，直到样本的10个号码全部取出
8、.第四步，找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组【拓展提升】抽签法与随机数法（1）抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.（2）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.【变式训练】(1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是()(A)在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖(B)某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，检查其质量是否合格(C)某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、
9、14人、4人了解对学校机构改革的意见(D)用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验【解析】选D.A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样(2)下列抽样试验中，适合用抽签法的有()（A）从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验（B）从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验（C）从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验（D）从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验【解析】选B.A，D中总体的个体数较大，不适于抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较
10、大，未达到搅拌均匀的条件，不适于抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.考向 2系统抽样【典例2】(1)（2012山东高考）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()（A）7 （B）9 （C）10 （D）15(2)（2013宿州模拟）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为
11、1，2，3，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6，则在第7组中抽取的号码是_.【思路点拨】(1)写出第k(kN*)组抽中的号码，构造不等式组求解.(2)第7组抽取的号码十位数字是6，再根据规定求出个位数字即可.【规范解答】(1)选C.采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，第k组的号码为(k-1)30+9，令451(k-1)30+9750，而kZ，解得16k25，则满足16k25的整数k有10个.(2)m=6，k=7，m+k=13，在第7组中抽取的号码是
12、63.答案：63【拓展提升】系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体(2)各个个体被抽到的机会均等(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样(4)如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为【提醒】如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样【变式训练】某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号，第二组610号，第十组4650号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_的学生【解析】易知组距为5，因为在第三组中抽得号码为12，
13、所以在第八组中抽得号码为12(83)537.答案：37考向 3分层抽样【典例3】(1)某初级中学有学生270人，其中七年级108人，八、九年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为1,2,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2,270，并将整个编号依次分为10段如果抽得号码有下列四种情况：7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；5,9,100,107,111,121,180,190,200,265；11,38,65,92,11
14、9,146,173,200,227,254；30,57,84,111,138,165,192,219,246,270；关于上述样本的下列结论中，正确的是()(A)都不能为系统抽样(B)都不能为分层抽样(C)都可能为系统抽样(D)都可能为分层抽样(2)（2013九江模拟）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为()(A)7 (B)15 (C)25 (D)35(3)（2012天津高考）某地区有小学150所，中学75所，大学25所，现采用分层抽样的方法从这些学校中
15、抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_所学校，中学中抽取_所学校.【思路点拨】(1)系统抽样在每组中抽取一个个体，分层抽样时应按1088181即433的比例抽取，故七年级应抽取4人，八年级应抽取3人，九年级应抽取3人.(2)利用样本中青年职工与样本容量的比例与总体中青年职工与总体数量的比例相同求解.(3)根据抽取样本的比例计算.【规范解答】(1)选D.对于系统抽样，应在127，2854，5581，82108，109135，136162，163189，190216，217243，244270中各抽取1个号；对于分层抽样，七年级编号1108，八年级编号109189，九年级编号19027
16、0，利用分层抽样可知，七年级抽取（人），八年级应抽取（人），九年级应抽取（人），所以应在1108中抽取4个号，109189中抽取3个号，190270中抽取3个号(2)选B.设样本容量为n,则解得n=15.(3)分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，应从小学中抽取（所），同理可得从中学中抽取（所）.答案：18 9【互动探究】在本例题(3)中，若将条件“某地区有小学150所，中学75所，大学25所”改为“某地区小学、中学、大学数量之比是631”，其他条件不变，试解答本题.【解析】从小学中抽取（所），从中学中抽取（所）.【拓展提升】常用的抽样方法及它们之间的联系和区别类别共同点各自特点相
17、互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的从总体中逐个抽取总体中的个数比较少系统抽样将总体均匀分成几个部分，按照事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个数比较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几部分组成【变式备选】某中学开设了几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲三门选修课程，供高二学生选修，已知高二年级共有学生600人，他们每人都参加且只参加一门课程的选修为了了解学生对选修课的学习情况，现用分层抽样的方法从中抽取30名学生进行座谈据统计，参加几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲的人数
18、依次组成一个公差为40的等差数列，则应抽取参加几何证明选讲的学生的人数为()(A)8 (B)10 (C)12 (D)16【解析】选C.根据题意可得，参加几何证明选讲的学生人数为240人抽取比例是故应该抽取24012（人）【易错误区】找不准比例关系导致错误【典例】（2013深圳模拟）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆，则z的值为_.【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面：(1)分层中不明确有几层(
19、2)计算比例时找不准比例关系，出现计算错误【规范解答】设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,所以n=2 000.z=2 000-100-300-150-450-600=400.答案：400【思考点评】1.分层抽样每层抽取样本数量的依据分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取(i=1,2,k)个个体(其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量).2分层抽样分层的原则分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.1.（2013宝鸡模拟）下列说法中正确说法的个数是()总体中的个体数不多时宜用
20、简单随机抽样法;在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样;百货商场的抓奖活动是抽签法;整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等(有剔除时例外).(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选C.显然正确，系统抽样无论有无剔除都是等概率抽样，故不正确.2.（2013大连模拟）某单位有职工160人，其中业务人员120人，管理人员24人，后勤服务人员16人为了解职工的某种情况，要从中抽取一个样本容量为20的样本，记作.从某中学高三年级的18名体育特长生中选出5人调查学习负担情况，记作.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法分别是()(A)用简单随机抽样法，用系统抽样法(B)用分层抽样法
21、，用简单随机抽样法(C)用系统抽样法，用分层抽样法(D)用分层抽样法，用系统抽样法【解析】选B.当总体中的个体数较多而差异又不大时可采用系统抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样法；当总体中的个体数较少时，宜采用简单随机抽样法依据题意，第项调查应采用分层抽样法，第项调查应采用简单随机抽样法3.（2012福建高考）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_.【解析】由题意知，女运动员总数为42，因此抽取的女运动员为（人）.答案：124.（2012江苏高考）某学校高一、高二、高三年级的
22、学生人数之比是334，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_名学生.【解析】高二年级学生人数占总数的样本容量为50，则50 =15(名).答案：151某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取_名学生.【解析】C专业的学生有1 200-380-420=400，由分层抽样原理，应抽取(名).答案：402.网络上曾流行一种“QQ农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(11)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为_【解析】由最小的两个编号为03,09可知，抽取人数的比例为即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为39657.答案：57
