1、第六节倍角公式和半角公式1.二倍角的正弦、余弦、正切公式公 式 名公式二倍角的正弦sin 2=_二倍角的余弦 cos 2=_=_=_二倍角的正切 tan 2=2sin cos cos2-sin22cos2-11-2sin22.半角公式判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）当是第一象限角时，()（2）对任意角，都成立.()（3）半角的正、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.()（4）用sin,cos 可将表示为()（5）当时，()【解析】（1）错误.在第一象限时，在第一或第三象限.当在第一象限时，当在第三象限时，(2)错误.此式子必须使有意义.即即(2k+1)(kZ).
2、(3)正确.由半角公式推导过程可知正确.(4)正确.(5)正确.又故原式=cos.答案：(1)(2)(3)(4)(5)1.已知则等于()【解析】选B.2.已知则等于()（A）3 （B）6 （C）12 （D）【解析】选A.=2+2tan=3.3.下列各式的值为的是()（B）1-2sin275（D）sin 15cos 15【解析】选D.A项：B项：C项:D项：4.已知则sin 2=_.【解析】即即答案：5.计算=.【解析】答案:2考向 1三角函数式的化简问题【典例1】（1）化简：(2)=_.(2)(2013新余模拟)计算_.(3)证明：【思路点拨】(1)分子、分母中分别利用倍角公式，整理化简即可.
3、（2）逆用正弦、余弦、正切的倍角公式即可得解.（3）利用诱导公式，切化弦，逆用倍角公式降幂可解.【规范解答】（1）原式又原式答案：cos（2）原式答案：(3)左边右边，原式成立.【拓展提升】三角函数式化简的原则、要求及方法(1)化简原则:统一角;统一函数名;能求值的则求值.(2)化简结果的要求：尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.(3)化简方法：主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角.【提醒】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常用到，另外“1”的代换也经常用到.【变式训练】（1）化简的结果是()（A）-cos 1 （B）cos 1（C
4、）（D）（2）化简【解析】(1)选C.（2）原式故考向 2三角函数的求值【典例2】（1）（2013吉安模拟）已知（0），则cos 2=_.(2)若=2 013,则tan 2+=_.(3)已知且则的值为_.【思路点拨】(1)由sin(+)=得sin+cos,根据的范围求得cos-sin,再利用倍角公式求解.(2)将所求式子“切化弦”，应用倍角公式展开，再“弦化切”可解.（3）将已知条件变形，求得sin-cos 与sin+cos，将所求式子应用公式展开代入即可求解.【规范解答】(1)sin(+)=(sin+cos)=sin+cos=两边平方得1+2sin cos=2sin cos=0,cos-si
5、n=cos 2=cos2-sin2=(cos+sin)(cos-sin)答案：（2）故所求式子=2 013.答案：2 013（3）即即又答案：【互动探究】本题（2）中若将改为如何求解呢？【解析】由已知得所以【拓展提升】1.三角函数式求值的类型和思路(1)三角函数式求值问题的类型直接求值.即直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值；条件求值.即根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围.（2）条件求值题的一般解法先化简所求式子或已知条件;观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);将已知条件代入所求式子,化简求值.2.三角函数
6、式给值求角的注意点一是找出已知角和未知角之间的关系，用已知角构造未知角，二是涉及的角的范围要确定准.【变式备选】(1)已知则cos(-2)=()【解析】选B.(2)已知为第三象限的角，则_.【解析】4k+220，所以解得=1.(2)由（1）得因为所以所以所以所以f(x)在区间上的取值范围为【满分指导】解答三角函数综合题的规范【典例】（12分）（2012北京高考）已知函数（1）求f（x）的定义域及最小正周期.(2)求f（x）的递增区间.【思路点拨】已知条件条件分析分母是sin x令sin x0得定义域sin 2x可利用倍角公式sin 2x=2sin xcos x利用公式整理化成一个角的三角函数【
7、规范解答】（1）由sin x0得，xk,kZ，所以定义域为x|xk,kZ.3分 5分所以f(x)的最小正周期8分(2)令且xk，其中kZ，10分所以递增区间为12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2012江西高考)若tan+=4，则sin 2=()【解析】选D.tan+=4,即=4,sin 2=2.(2012山东高考)若 ,sin 2=，则sin=()【解析】选D.由于 ，则2,，所以cos 20.因为sin 2=，所以cos 2=又cos 2=1-2sin2，所以sin=3.(2013宝鸡模拟)已知且则等于()【解析】选A.由得又所以故4.(2012江苏高考)设为锐角，若则的值为_【
8、解析】因为且为锐角，所以所以所以所以答案：5.(2012天津高考)已知函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)+2cos2x-1，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=sin 2xcos +cos 2xsin +sin 2xcos -cos 2xsin +cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+).所以f(x)的最小正周期T=.(2)因为f(x)在区间上是增加的，在区间上是减少的，又f()=-1，f()=，f()=1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为-1.1.已知函数其最大值为M，最小值为m，则M-m等于()（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解析】选B.由已知得xR,f(x)max=0,f(x)min=-2.M-m=2.2.已知a=(sin x,cos(-x),b=(2cos x,2cos x)，函数f(x)=ab+1,则f()的值为_.【解析】因为f(x)=ab+1=2sin xcos x+cos(-x)2cos x+1=2sin xcos x-2cos2x+1所以答案：-1
