1、阜阳三中20232024学年度高二年级第一学期数学学科二调考试试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A版选择性必修一+选择性必修二第一章.一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）A. B.C
2、. D.2.设数列是公比为的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则公比为（ ）A.16 B.4 C.-4 D.-163.已知直线与直线平行，则的值为（ ）A.2 B.3 C.2或-3 D.-2或34.如图，在三棱柱中，若为的中点，则可表示为（ ）A. B.C. D.5.设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值为（ ）A. B. C.2 D.6.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点，与半
3、椭圆交于点，则的面积是（ ）A. B. C. D.7.已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.8.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）A. B. C. D.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中不正确的是（ ）A.若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大B.直线的倾斜角的取值范围是C.过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
4、D.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为10.在三棱锥中，是直二面角，如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A.B.平面的法向量与平面的法向量垂直C.异面直线与所成的角为D.直线与平面所成的角为11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）A.平分B.C.延长交直线于点，则三点共线D.12.设数列，如果，且，对于，使成立，则称数列为数列.则下列说法正确的是（ ）A.数列是数
5、列B.若数列是数列，且，则的最小值为3C.若数列是数列，且，则为奇数D.若数列是数列，且，则存在，使三填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.圆与圆的公共弦的长为_.14.在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，则为_.15.已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为_.16.已知分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线上，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于，两点.若四边形的面积为，则的离心率为_.四解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（10分）已知首项为1的正项等比数列，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2
6、）若，求的最小值.18.（12分）某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为1米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：（1）在西辅道上与建筑物底面中心距离2米处的游客，是否在摄像头监控范围内？（2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度.19.（12分）如图，在正四棱锥中，正四棱锥的体积为，点为的中点，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.20.（12分）已知数列满足，且
7、.（1）求数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.21.（12分）焦点在轴上的双曲线经过两点.过点的直线与双曲线交于，过点的直线与直线相交于点且.（1）求双曲线的方程；（2）若，求直线的斜率.22.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，（i）求证：为定值；（ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值.阜阳三中20232024学年度高二年级第一学期数学学科二调考试参考答案解析及评分细则1.C 因为椭圆的焦点坐标为，所以，记，所以，所以
8、，所以，所以双曲线的标准方程为.故选C.2.C 由题意等比数列的连续四项构成集合，则可知等比数列的项一定为正负相间，公比为负，由于，故后一项绝对值大于前一项的绝对值，故集合中的这四个数在数列中排列为，则.故选C.3.A 根据题意，由两直线平行可得，即，解得或；经检验-3时，两直线重合，不合题意；所以.故选A.4.A 由题意可知，因为，所以.故选A.5.B 抛物线的焦点，准线方程为，延长交准线于，连，显然垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知：，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，而，所以的最小值为.故选B.6.B 由题意知，半圆的方程为，设椭圆方程为，则，所以，故椭圆方程为，设，则，所以，设，
9、则，所以，故.故选B.7.B 当时，由，得，即，在且时恒成立，解得.当时，单调递增，若对任意，都有，则且，即且，解得，则实数的取值范围是.故选B.8.D 如图，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点表示的长度，因为直线的方程为，所以，即，当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即平行于轴，所以当垂直直线时，最小，如图所示，此时，根据直线的斜率为-3，得，所以，故D正确.故选D.9.ACD 对于A，若直线倾斜角大于，则直线的斜率存在负值，故A错误；直线的倾斜角为，则，因为，所以，故B正确；对于C，设直线与轴交点为，则与轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为
10、，即，故C错误；直线斜率定义为倾斜角的正切值，但不能是，故D错误.故选ACD.10.AD 对于，因为，平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，即，故正确；对于，因为平面平面，所以平面的法向量与平面的法向量垂直，而平面与平面相交，并不平行，所以平面的法向量与平面的法向量不垂直，故错误；对于，设，则，所以，在Rt中，所以，故异面直线与所成的角不是，故错误；对于，由选项知，平面，所以即为直线与平面所成的角，而，故D正确.故选.11.ACD 根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，所以，故直线为，即，依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，对于，故，所以，又因为轴，轴，所以，故
11、，所以，则平分，故正确；对于，因为，故，故错误；对于，易得的方程为，联立，故，又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；对于，由选项知，故正确.故选ACD.12.AB 对于，因为，所以是数列，正确；对于，首先证明不能为2.假设，由数列为数列知，.所以，与已知矛盾，故假设不成立.所以不能为2.因为数列满足，此时是数列，所以的最小值为正确.对于，以下证明：若为奇数，则必为奇数.假设数列中存在偶数，设是数列中第一个偶数，因为数列是数列，所以，使.因为均为奇数，所以也为奇数，与为偶数矛盾.所以若为奇数，则必为奇数.因为为偶数，所以不能为奇数，只能为偶数，C错误.对于，以下证明：若，则.若不然
12、，设为第一个满足的项，因为数列是数列，所以，使.因为，所以，与矛盾；所以若，则.而，D错误.故选AB.13.4 将圆与圆相减可得，即两圆的公共弦所在的直线方程为，又圆圆心到直线的距离，圆的半径为，所以公共弦长为.14.7 如图，在平行六面体中，因为，所以，所以.15.77 在之间插入个1，构成数列，所以共有个数，当时，当时，由于，所以.16. 根据对称性不妨设点在第一象限，如图所示，圆，圆心为，半径为，设，点在双曲线上，则有，可得，过作的垂线，垂足为为的中点，则，同理，由，四边形的面积为，化简得，则有，则的离心率.17.解：（1）设等比数列的公比为，且，因为成等差数列，则，即：，解得或（舍去）
13、，所以数列的通项公式.（2）由（1）得：，所以，整理可得，故的最小值为7.18.解：（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，因为，则，依题意得，游客所在位置为，则直线的方程为，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内.（2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，所以设直线过点且和圆相切，若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切；若直线不垂直于轴，设，整理得，所以圆心到直线的距离为，解得或，所以或，即或，观景直道所在直线方程为，设两条直线与的交点为，由，解得，由，解得，所以，答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为4.375米.19.
14、（1）证明：在正四棱锥中，连接，四边形为正方形，为的中点，又点为的中点，为的中位线，又平面平面，平面.（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为正四棱锥的体积为，所以正四棱锥的体积，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以.设二面角的所成的角为，则，由图可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.20.解：（1），当时，两式相除得：，又符合上式，故（2）由（1）得：，错位相减得：，即，由，得，设，则，故，由可知，随着的增大而减小，故，故恒成立，知单调递减，故的最大值为，则.21.解：（1）设双曲线方程为，代入可得解得所以双曲线的方程为.（2）若直线的斜率不存在，则，不符合，所以直线的斜率存在，设直线，联立方程，消去得，则且，可得则，又因为，可知，则，由题意可知：，即，整理得，解得或，且或均符合且，所以直线的斜率或.22.（1）解：依题意，解得，所以椭圆的方程为.（2）（i）证明：依题意，两条切线方程分别为，由，化简得，同理.所以是方程的两个不相等的实数根，则.又因为，所以，所以.（ii）证明：由（得，设，则，即，因为，所以，得，即，解得，所以，所以为定值.
