1、阶段性测试题八(平面解析几何)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(文)(20112012北京四中期中)已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与直线2xy10垂直，则m的值为()A8B0C10 D2答案D解析由条件知，(2)1，m2.(理)(20112012浙江宁波市期末)设集合A(x，y)|xa2y60，B(x，y)|(a2)x3ay2a0，若AB，则实数a的值为()A3或1 B0或3C0或1 D0或3或1答案C解析
2、集合A与B都是直线上的点构成的集合，AB，两直线平行，a1，又a0时，两直线显然平行，a0或1.2(文)(20112012泉州五中模拟)若双曲线1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是()A4 B12C4或12 D6答案C解析a24，a2，设左、右焦点分别为F1、F2，则由定义知|PF1|PF2|4，|PF1|8|4，|PF1|12或4.(理)(20112012青岛市期末)以双曲线1(a0，b0)的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近线()A相交 B相离C相切 D不确定答案C解析双曲线的焦点F(c,0)到渐近线yx的距离为db，故F与渐近线相切3(201
3、12012东营市期末)已知点P是抛物线y28x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线xy100的距离是d2，则d1d2的最小值是()A. B2C6 D3答案C解析抛物线y28x的焦点F(2,0)，根据抛物线的定义知，d1d2|PF|d2，显然当由点F向直线xy100作垂线与抛物线的交点为P时，d1d2取到最小值，即6.来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM4(20112012大庆铁人中学期末)将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(6,8)重合，则与点(4,2)重合的点是()A(4，2) B(4，3)C(3，) D(3，1)答案A解析解法一：由条件知，点(10,0)与(6,
4、8)关于折线对称，故折线过点(2,4)，斜率k2，故折线所在直线方程为y42(x2)，即2xy0，与点(4，2)重合的点M和点(4,2)的中点应在直线2xy0上，经检验知，只有A适合，故选A.解法二：设与点C(4,2)重合的点为D，又A(10,0)，B(6,8)，则必有ABCD，kABkCD，kAB，kCD，经检验知，只有A适合5(文)(20112012青岛市期末)点P(2，1)为圆(x1)2y225内弦AB的中点，则直线AB的方程为()Axy10 B2xy30Cxy30 D2xy50答案C解析圆心C(1,0)，kPC1，kAB1，排除A、B、D，选C.(理)(20112012重庆市期末)将直
5、线xy10绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15得到直线l，则直线l与圆(x3)2y24的位置关系是()A相交 B相切C相离 D相交或相切答案B解析直线xy10的斜率k1，倾斜角为135，故直线l的倾斜角13515150，斜率kltan，方程为y(x1)，即xy10，圆心C(3,0)到直线l距离d2，直线与圆相切6(20112012滨州市沾化一中期末)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是()A. B.C. D.答案D解析设F(c,0)，B(0，b)，则kFB，由条件知()1，b2ac，又b2c2a2，c2a2ac0，e2e10，e
6、1，e.7(20112012北京四中期末)曲线x2y|y|1与直线ykx有且仅有两个公共点，则k的取值范围是()A(，1)(1，) B(，11，)C(1,1) D1,1答案C解析方程x2y|y|1，即或，其图形如图，若直线ykx与此曲线有且仅有两个公共点，则1k0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析抛物线y28x的焦点F(2,0)，由条件得，故选B.10(20112012绥化市一模)若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()A2B3C4D6答案C解析C：(x1
7、)2(y2)22，圆心C(1,2)在直线2axby60上，ab30，由点P(a，b)向圆引切线，设切线长为l，则l2|PC|2r2(a1)2(b2)22(b4)2(b2)222b24b182(b1)21616，l4，当b1，a2时，lmin4.11(20112012吉林省延吉市质检)若双曲线1(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分成75的两段，则此双曲线的离心率为()A. B.C. D.答案C解析由条件知，c3b，c2a2b2，c29(c2a2)，e2，e.12(20112012龙文中学、程溪中学、芗城中学三校联考)已知双曲线1的一个焦点与抛物线x24y的
8、焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为()A5y2x21 B.1C.1 D5x2y21答案A解析抛物线x24y的焦点F(0,1)，由题意知，解得，双曲线方程为1.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(20112012包头一中期末)经过点M(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_答案3x2y0或xy50解析过原点时，直线方程为yx，不过原点时，设方程为1，1，a5，方程为xy50.14(文)(20112012江西赣州期末)若圆(x2)2y22与双曲线1(a0，b0)的渐近线相切，则双曲线的离心率
9、是_答案解析圆心(2,0)到直线yx的距离d，b2a2，c2a2b2，e1，e.(理)(20112012黄冈市期末)已知直线axy20与双曲线x21的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是_答案解析双曲线的渐近线方程为y2x，由条件知a2，两平行线2xy20与y2x0之间的距离是d.15若方程x2sin2y2cos1表示焦点在y轴上的椭圆，那么的取值范围是_答案，kZ解析根据题意知，化简得，.解得(kZ)来源:K16(20112012山东苍山县期末)已知圆C：x2y26x4y80，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为_答案1解析在C方程中
10、，令x0得y24y80无解，令y0得x26x80，x2或4，故双曲线方程中a2，c4，b2c2a212，双曲线的标准方程为1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(文)(2011广东广州一模)已知直线y2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OPOQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若曲线l2是曲线C的一条切线，当点(0,2)到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程解析(1)设P(x，y)，则Q(x，2)，OPOQ，kOPkOQ1.当x0时，得1，化简得x22y.当x0
11、时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x0.曲线C的方程为x22y(x0)(2)解法一：直线l2与曲线C相切，直线l2的斜率存在设直线l2的方程为ykxb，由得x22kx2b0.直线l2与曲线C相切，4k28b0，即b.由(0,2)到直线l2的距离d()2.当且仅当，即k时，等号成立，此时b1.直线l2的方程为xy10或xy10.解法二：由x22y，得yx.直线l2与曲线C相切，设切点M的坐标为(x1，y1)，其中y1x，则直线l2的方程为：yy1x1(xx1)，化简得x1xyx0.点(0,2)到直线l2的距离d()2.当且仅当，即x1时，等号成立直线l2的方程为xy10或xy10.(理)已知
12、动圆过定点P(1,0)，且与直线x1相切(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，若OAOB，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标解析(1)设圆心M(x，y)由题意知点M到点P的距离等于点M到直线x1的距离，故点M的轨迹C是以P(1,0)为焦点，直线x1为准线的抛物线轨迹C的方程是y24x.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb(k0)代入C的方程并整理得k2x2(2kb4)xb20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.故y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2.由OAOB得x1x2y
13、1y20，即0，解得b4k或b0(舍去)此时，直线AB的方程为：ykx4k，即yk(x4)此时直线AB过定点(4,0)当直线AB的斜率不存在时，由OAOB可知A、B两点的坐标分别是(4，4)、(4,4)此时直线AB也过定点(4,0)综上所述，直线AB恒过定点(4,0)18(本小题满分12分)(20112012山东日照模拟)设椭圆C1和抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中点和C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：x324y2来源:高&考%资(源#网 wxc04(1)求曲线C1，C2的标准方程；(2)设直线l与椭圆C1交于不同两点M、N，且0，请问是否存在直线l过抛物线C
14、2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)由题意(2,0)，一定在椭圆C1上，设C1方程为1，则a2，椭圆C1上任何点的横坐标|x|2.所以(，)也在C1上，从而b21，C1的方程为y21.从而(3，2)，(4，4)一定在C2上，设C2的方程为y22px(p0)，p2，即C2的方程为y24x.(2)假设直线l过C2的焦点F(1,0)当l的斜率不存在时，则M(1，)，N(1，)此时10，与已知矛盾当l的斜率存在时设为k，则l的方程为yk(x1)代入C1方程并整理得，(14k2)x28k2x4k240.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.y1y2k
15、(x11)k(x21)k2(x1x2x1x21)，0，x1x2y1y20，k240，k2，存在符合条件的直线l且方程为y2(x1)19(本小题满分12分)(20112012宿州市质检)已知斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)(1)求双曲线C的离心率；(2)若双曲线C的右焦点坐标为(3,0)，则以双曲线的焦点为焦点，过直线g：xy90上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程解析(1)由题设知：l的方程为y31(x1)，即yx2，代入C的方程，并化简得：(b2a2)x24a2x4a2a2b20 (*)设B(x1，
16、y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由M(1,3)为BD的中点知1，故2，即b23a2.故c2a，e2，验证可知方程(*)的0.(2)双曲线的左、右焦点为F1(3,0)、F2(3,0)，点F1关于直线g：xy90 的对称点F的坐标为(9,6)，直线FF2的方程为x2y30解方程组得交点M(5,4)，此时|MF1|MF2|最小，所求椭圆的长轴2a|MF1|MF2|FF2|6，a3，又c3，b236，故所求椭圆的方程为1.20(本小题满分12分)(文)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且经过点P(1，)(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F是椭圆C的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭圆
17、长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由解析(1)椭圆1(ab0)的离心率为，且经过点P，即，解得，椭圆C的标准方程为1.(2)a24，b23，c1.椭圆C的左焦点坐标为(1,0)以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2y24，圆心坐标是(0,0)，半径为2.以PF为直径的圆的方程为x22，圆心坐标是，半径为.两圆心之间的距离为2，故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切(理)(20112012包头一中期末)已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0,2)，离心率为.(1)求椭圆P的方程；(2)是否存在过点E(0，4)的直线l交椭圆P于点R、T，且满足8.若存在，求直线l的方程；若
18、不存在，说明理由解析(1)设椭圆P的方程为1(ab0)由题意得：b2，e，c2，a4，故椭圆P的方程为1.(2)假设存在满足题意的直线l.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意，故直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为：ykx4.由可得：(34k2)x232kx160，则(32k)24(34k2)160，k2，设R(x1，y1)，T(x2，y2)，则，y1y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)1616，8，x1x2y1y28，8，k2，k，直线l的方程为：yx4，故存在直线yx4满足题意21(本小题满分12分)(文)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，点
19、M(x0,0)且椭圆的长半轴长是x0与半焦距的等比中项，4.(1)求椭圆的离心率e；(2)过左焦点F且斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，若2，求椭圆的方程解析(1)设椭圆方程为1，F(c,0)，则由条件知，x0ca2，x0，即M.由4得，4(c,0)4c，e.(2)设直线AB的方程为y(xc)，直线AB与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)可得a24c2，b23c2.由，消去y得，11x216cx4c20.x1x2，x1x2c2.(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2，且y1y22(x1c)(x2c)2x1x22c(x1x2)2c2.3x1x22c(x1x2)2c22.
20、即c2c22c22.c21.则a24，b23.椭圆的方程为1.(理)已知点M(2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|PN|2.记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值解析(1)解法1：由|PM|PN|2知点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线1的右支；其实半轴长a，半焦距c2，虚半轴长b，所以W的方程为1，(x)解法2：设动点P的坐标为(x，y)，则|PM|，|PN|，由条件得2，化简得W的方程为1，其中x.(2)解法1：设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)当ABx轴，x1x2，y1y2，从而x1x2y1y2xy2，当AB
21、与x轴不垂直时，设直线AB方程为ykxm，与W的方程联立，消去y得(1k2)x22kmxm220，故x1x2，x1x2所以x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2m22因为x1x20，所以k210，从而2综上，当ABx轴时，取得最小值2.解法2：设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)再设直线AB方程为xmyr，与W的方程联立，消去x得(m21)y22mry(r22)0故y1y2，y1y2所以x1x2y1y2y1y2(my1r)(my2r)(m21)y1y2mr(y1y2)r2(m21)mrr22由x1x20不难得到0m2b0)的左、右顶
22、点与上顶点，直线A2B与圆C：x2y21相切(1)求证：1；(2)P是椭圆E上异于A1，A2的一点，直线PA1，PA2的斜率之积为，求椭圆E的方程；(3)直线l与椭圆E交于M，N两点，且0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由解析(1)已知椭圆E：1(ab0)，A1，A2与B分别为椭圆E的左右顶点与上顶点，所以A1(a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，直线A2B的方程是1.因为A2B与圆C：x2y21相切，所以1，即1.(2)设P(x0，y0)，则直线PA1，PA2的斜率之积为kPA1kPA21，而1，所以b2a2.结合1，得a24，b2.所以，椭圆E的方程为1.(3)设点M(x1，y
23、1)，N(x2，y2)若直线l的斜率存在，设直线l为ykxm，将ykxm代入1得，1.化简得，(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20(0)x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2km()m2.因为0，所以x1x2y1y20.代入得(a2b2)m2a2b2(1k2)0.结合(1)的1，得m21k2.圆心到直线l的距离为d1，所以直线l与圆C相切若直线l的斜率不存在，设直线l：xn.代入1，得yb.|n|b，a2n2b2(a2n2)解得n1，所以直线l与圆C相切(理)(20112012厦门质检)已知椭圆E：1(ab0)的离心率e，且经过点(，
24、1)，O为坐标原点(1)求椭圆E的标准方程；(2)圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x4在x轴上方的一点过M作圆O的两条切线，切点分别为P、Q，当PMQ60时，求直线PQ的方程来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM解析(1)椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意可得e.椭圆经过点(，1)，1.又a2b2c2，解得a2，b2，所求椭圆的标准方程为1.(2)解法一：连结OM，OP，OQ，依题意可设M(4，m)，由圆的切线性质及PMQ60，可知OPM为直角三角形且OMP30，|OP|2，|OM|4，4，又m0，解得m4，M(4,4)，直线OM的斜率kOM1，由MPMQ，OPOQ可得OM
25、PQ，直线PQ的斜率kPQ1，设直线PQ的方程为yxn，OMP30，POM60，OPA30，由|OP|2知|OA|，即点O到直线PQ的距离为，解得n2(舍去负值)，直线PQ的方程为xy20.解法二：同解法一求得M(4,4)，设P(x1，y1)，则由圆的切线性质知OPM为直角，故有kOPkPM1，即1，整理得xy4y14x1，又点P(x1，y1)在圆O：x2y28上，故有xy8，4y14x18，即y1x12，同理设Q(x2，y2)，则有y2x22，直线PQ的方程为xy20.解法三：同解法一求得M(4,4)，则以OM为直径的圆K的方程为(x2)2(y2)28，与圆O：x2y28联立消去x2，y2得
26、直线PQ的方程为xy20.解法四：同解法一求得M(4,4)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则过P，Q的圆O：x2y28的切线方程分别为x1xy1y8，x2xy2y8，它们都过点M(4,4)，故有4x14y18，4x24y28，直线PQ的方程为4x4y8，即xy20.1(20112012北京西城区期末)设抛物线y28x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于()A8B6C4D2答案B解析抛物线准线l：x2，P到l距离d4(2)6，|PF|6.2(20112012辽宁本溪一中、庄河高中联考)设平面区域D是由双曲线x21的两条渐近线和直线6xy80所围成三角形的边界及内部，当
27、P(x，y)D时，x2y22x的最大值是()A24 B25C4 D7答案A解析在双曲线方程中，a1，b2，渐近线y2x，区域D为OAB及其内部，令rx2y22x，则(x1)2y2r1，则r1表示点P到(1,0)点距离的平方，易求得A(1，2)，B(2,4)，则点P与B重合时r取到最大值，此时r24.来源:K.Com3B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是_答案解析由已知2bca2b2c2，bca.设P(x0，y0)，则x0c，|y0|PF1|.1，1，|y0|b，.4设F是椭圆1的右焦点，且椭
28、圆上至少有21个不同的点Pi(i1,2,3，)使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为_答案解析易知1|FPn|1，若a11，an1，则ana1(n1)dd(n21)，即0d，当d0时，d0，b0)的两条渐近线分别为l1，l2，过双曲线的右焦点F作直线l，使l垂直l1于P点，且与双曲线交于点A.(1)当l1与l2的夹角为60，且双曲线的焦距为4时，求该双曲线方程；(2)若双曲线的离心率e，时，求的取值范围解析(1)l1与l2的夹角为60，tan30或tan60，ab或ba，又c2，或，双曲线方程为x21或y21.(2)不妨设F(c,0)，直线l的方程为：y
29、(xc)，则由得点P的横坐标为，点P在双曲线C的右准线上，过点A作右准线的垂线并交左准线于点Q，则esinAPQ，又APQPOF，且tanPOF(O为坐标原点)，sinAPQ，而e21，且e，1，的取值范围是1，6(20112012广东韶关调研)设抛物线C的方程为x24y，M(x0，y0)为直线l：ym(m0)上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B.(1)当M的坐标为(0，1)时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；(2)求证：直线AB恒过定点(0，m)解析(1)当M的坐标为(0，1)时，设过M点的切线方程为ykx1，代入x24y，整理得x2
30、4kx40，令(4k)2440，解得k1，代入方程得x2，故得A(2,1)，B(2,1)，因为M到AB的中点(0,1)的距离为2，从而过M，A，B三点的圆的方程为x2(y1)24.易知此圆与直线l：y1相切(2)证法一：设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过抛物线上点A(x1，y1)的切线方程为(yy1)k(xx1)，代入x24y，整理得x24kx4(kx1y1)0，(4k)244(kx1y1)0，又因为x4y1，所以k.从而过抛物线上点A(x1，y1)的切线方程为yy1(xx1)，即yx，又切线过点M(x0，y0)，所以得y0x0 即y0x0y1，同理可得过点B(x2，y2)的切
31、线为yx，又切线过点M(x0，y0)，所以得y0x0 即y0x0y2，即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足y0x0y，即x0x2(y0y)，故直线AB的方程为x0x2(y0y)，又M(x0，y0)为直线l：ym(m0)上任意一点，故x0x2(ym)对任何x0成立，所以x0，ym，从而直线AB恒过定点(0，m)证法二：设过M(x0，y0)的抛物线的切线方程为yy0k(xx0)(k0)，代入x24y，消去y得，x24kx4(y0kx0)0，(4k)244(y0kx0)0，即k2x0ky00，从而k1，k2，此时x1，x2，所以切点A，B的坐标分别为A(，)，B(，)，因为kAB，x0，所以
32、AB的中点坐标为(x0，)，故直线AB的方程为y(xx0)，即x0x2(y0y)，又M(x0，y0)为直线l：ym(m0)上任意一点，故x0x2(ym)对任意x0成立，所以x0，ym，从而直线AB恒过定点(0，m)证法三：由已知得y，求导得y，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，故过点A(x1，y1)的切线斜率为k，从而切线方程为(yy1)(xx1)，即yx，又切线过点M (x0，y0)，所以得y0x0 即y0x0y1，同理可得经过点B(x2，y2)的切线为yx，又切线过点M(x0，y0)，所以得y0x0 即y0x0y2，即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足y0x0y，即x0x2(y0y)，故直线AB的方程为x0x2(y0y)，又M(x0，y0)为直线l：ym(m0)上任意一点，故x0x2(ym)对任意x0成立，所以x0，ym，从而直线AB恒过定点(0，m)
