1、课时作业(二十四)第 24 讲 平面向量的数量积及应用时间：45 分钟 分值：100 分基础热身1已知平面向量 a(1，3)，b(4，2)，ab 与 a 垂直，则 _.2若向量 a，b 的夹角为 120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.3已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b(ab)0，则|b|的取值范围是_4在ABC 中，若BC a，CA b，AB c 且 abbcca,则ABC 的形状是_能力提升5a(2,3)，b(1，1)，则 ab_.62011惠州三模 已知向量|a|10，|b|12，且 ab60，则向量 a 与 b 的夹角为_7若 a(2,3)，b(4,7)，则 a
2、在 b 方向上的投影为_82011苏北四市一调 设 a，b，c 是单位向量，且 abc，则向量 a，b 的夹角等于_92011镇江统考 已知 RtABC 中，斜边 BC 长为 2，O 是平面 ABC 内一点，点 P满足OP OA 12(ABAC)，则|AP|_.10平面向量 a(x，y)，b(x2，y2)，c(1,1)，d(2,2)，若 acbd1，则这样的向量 a 有_个11在ABC 中，C2，AC1，BC2，则 f()|2CA(1)CB|的最小值是_122011南通一模 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(0，1)，B(3，4)两点若点 C 在AOB 的平分线上，且|OC|10，则点
3、C 的坐标是_13(8 分)2011南通一模 已知向量 a，b 满足|a|2，|b|1，|ab|2.(1)求 ab 的值；(2)求|ab|的值14(8 分)已知|a|2，|b|3，a 与 b 夹角为 45，求使向量 ab 与 ab 的夹角为钝角时，的取值范围15(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，2)、B(2,3)、C(2，1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数 t 满足(ABtOC)OC 0，求 t 的值16(12 分)已知向量 m(3sinx4，1)，ncosx4，cos2x4.(1)若 mn1，求 cos23 x 的值；(2)记
4、f(x)mn，在ABC 中，角 A，B，C 成等差数列，求函数 f(A)的取值范围课时作业(二十四)【基础热身】11 解析 ab(4，32)，因为 ab 与 a 垂直，所以 4960，故 1.27 解析|5ab|5ab2 25a210abb22510131297.30,1 解析 b(ab)0，abb2，即|a|b|cos|b|2，当 b0 时，|b|a|coscos(0,1所以|b|0,14等边三角形 解析 由 abbcca，abc0，得 ABBCCA，所以ABC为等边三角形【能力提升】55 解析 ab2(1)3(1)5.6120 解析 由 ab|a|b|cos60cos12，故 120.7.
5、655 解析 cos ab|a|b|2437491649 55，a 在 b 方向上的投影|a|cos 2232 55 655.8.3 解析 由 a，b，c 是单位向量，模都为 1，abcabc(ab)2c2a2b22abc2ab12|a|b|cos12cos123.91 解析 由OP OA 12(ABAC)OP OA 12(ABAC)AP12(ABAC)|AP|12|(ABAC)|12 AB 22ABACAC 2.ABACABAC0，AB 2AC 2BC 2，BC2.故|AP|1.101 解析 依题意得xy1，x2y212，其中 x2y212表示以原点 O 为圆心，22 为半径的圆，由点到直线
6、的距离公式可得圆心到直线 xy1 的距离 d 12 22，故直线与圆相切，只有一个交点，故满足条件的 a 只有一个解11.2 解析 如图，以 C 为原点，CA，CB 所在直线为 y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA(0,1)，CB(2,0)，故 2CA(1)CB(0,2)(22，0)(22，2)，所以 f()222212212212，故最小值为 2，在 12时取得12(1，3)解析 法一：设点 C 的坐标是(x，y)，且 x0，y0，直线 OB 方程为y43x，因点 C 在AOB 的平分线上，所以点 C 到直线 OB 与 y 轴的距离相等，从而|4x3y|5|x|.又 x2y210，解之得x
7、1，y3，所以点 C 的坐标是(1，3)法二：设点 C 的坐标是(x，y)，且 x0，y0，则因点 C 在AOB 的平分线上，所以由cosOC，OA cosOC，OB 得 y1103x4y5 10.又 x2y210，解之得x1，y3，所以点 C 的坐标是(1，3)13解答(1)由|ab|2，得|ab|2a22abb2412ab4，ab12.(2)|ab|2a22abb2421216，|ab|6.14解答 由条件知，cos45 ab|a|b|，ab3，设 ab 与 ab 的夹角为，则 为钝角，cosabab|ab|ab|0，(ab)(ab)0.a2b2(12)ab0，293(12)0，32113
8、0，11 85611 856.若 180时，ab 与 ab 共线且方向相反，存在 k0，使 abk(ab)，a，b 不共线，k1，k.k1，11 85611 856且 1.15解答(1)方法一：由题设知AB(3,5)，AC(1,1)，则ABAC(2,6)，ABAC(4,4)所以|ABAC|2 10，|ABAC|4 2.故所求的两条对角线的长分别为 4 2、2 10.方法二：设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则 E 为 B、C 的中点，则 E(0,1)，又 E(0,1)为 A、D 的中点，所以 D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为|BC|4 2，|AD|2 10；(2)由题设知：OC(2，1)，ABtOC(32t,5t)由(ABtOC)OC 0，得(32t,5t)(2，1)0，从而 5t11，所以 t115.16解答(1)mn 3sinx4cosx4cos2x4 32 sinx212cosx212sinx26 12.mn1，sinx26 12.cosx3 12sin2x26 12，cos23 x cosx3 12.(2)角 A，B，C 成等差数列，B3.0A23，6A262，sinA26 12，1.又f(x)sinx26 12，f(A)sinA26 12，故函数 f(A)的取值范围是1，32.
