1、第6讲 机械能适用学科物理适用年级高三适用区域全国课时时长（分钟）120知识点1：图像法求解功和功率2：动能定理3：功能原理及能量守恒定律教学目标1：了解机械能的考查特点2：掌握基本知识和解题方法。3：功能原理及能量守恒定律。教学重点1：多物体动能定理2：功能原理及能量守恒定律教学难点1：多物体动能定理2：功能原理及能量守恒定律【重点知识精讲和知识拓展】一：功1：恒力做功 W=Fxcos 。当物体不可视为质点时，x是力的作用点的位移。2变力做功 （1）平均值法：计算随位移均匀变化的力做功，可以采用平均值法。如计算弹簧的弹力做功，可先求得=，再求出弹力做功为W=(x2-x1)= （2）图像法：当
2、力的方向不变，其大小随在力的方向上的位移成函数关系变化时，作出力位移图像（即Fx图），则图线与位移坐标轴围成的“面积”就表示力做的功。若已知功率随时间变化的图象，则功率时间图像与横轴所围的面积就表示功。（3）等效法： 通过因果关系，如动能定理、功能原理或Pt等效代换可求变力做功。（4）微元法： 就是把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用W=Fxcos求出每一小段x内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。例如：用水平拉力F，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动
3、摩擦因数为。则此过程中摩擦力所做的功：Wf=-mg2R。二、图像法求解功和功率1、F-x图象围成的面积表示功（注意F与x方向必须相同）； 2、F-v图象围成的面积表示功率（注意F与v方向必须相同）；3、牵引力F随速度倒数1/v图象：F-1/v图象若为过原点的倾斜直线，则牵引力的功率不变；F-1/v图象若为平行横轴的直线，牵引力不变，汽车做匀加速直线运动；4、P-t图象围成的面积是功； 5、p-V图象围成的面积对应气体做功。，若体积减小则p-V图象围成的面积是外界对气体做的功；若体积增大则p-V图象围成的面积是气体对外做的功。三、动能定理1 对于单一物体（可视为质点） 只有在同一惯性参照系中计算
4、功和动能，动能定理才成立。当物体不能视为质点时，则不能应用动能定理。2 对于几个物体组成的质点系，因内力可以做功，则 同样只适用于同一惯性参照系。四、势能1 重力势能：Ep=mgh2 弹性势能：物体因发生弹性形变而具有的势能叫做弹性势能.弹簧的弹性势能公式：3 引力势能： 系统内万有引力做功也与路径无关。习惯规定质量为和M的可视为质点的物体间相距无穷远时,即势能最大时的势能为零。（1） 质点之间：（2） 均匀球体（半径为R）与质点之间 （rR）（3） 均匀球壳与质点之间 （rR） （rR）五机械能守恒定律1.动能和势能（重力势能和弹性势能）统称为机械能：E.2.在只有重力（和系统内弹簧的弹力）
5、做功的情形下，物体的动能和重力势能（及弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变.这个结论叫做机械能守恒定律.3.判断机械能守恒的方法一般有两种：（1）对某一物体，若只有重力（或系统内弹簧的弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体的机械能守恒.（2）对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能产生），则系统的机械能守恒. 4.应用机械能守恒定律解题的基本步骤：（1）根据题意，选取研究对象（物体或系统）.（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断是
6、否符合机械能守恒的条件.（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的起始状态和末了状态的机械能（包括动能和重力势能）.（4）根据机械能守恒定律列方程，进行求解. : 六功能原理和能量守恒定律1.做功的过程是能量转化的过程。做了多少功，就有多少能量发生了转化。改变物体动能、势能、内能都可以通过做功来实现，做功的多少一定与能量转化量相对应。2.常见做功与能量转化的对应关系：（1）合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。（2）重力做功等于物体重力势能变化的负值。（3）弹簧弹力做功等于弹簧弹性势能变化的负值。（4）除重力（或弹力）以外的力对物体做功等于机械能的变化。（5）滑动摩擦力与相对位移（相对摩
7、擦路程）的乘积等于产生的热量。3.能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中，能量的总量不变。4、功能原理 物体系外力做的功与物体系内非保守力做的功之和，等于物体系机械能的增量。即 :.Com【典例精析】例1.如图所示，一个盛水容器两端开口，竖直放置。已知小口截面积为S1，大口截面积为S2，容器内的水不断从小口流出，此时容器中的水面与小口的高度差为h，求此时从小口流出水的速度。（流量Q=Sv）【答案】：见解析【解析】：将容器中的水液体分成无穷多层的水平小液片，每片质量设为m。液体稳定流动过程中，可认为最
8、上面的液片移动到了最下面。设上部液体速度为v2，从小口流出液体速度为，对一个液片，由机械能守恒定律可得：。而联立解得：。例2：跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由下落，运动员质量m=60kg，其体形可等效为一长度L=1.0m、直径d=0.30m的圆柱体.。忽略空气阻力，.运动员入水后,水的等效阻力F作用于圆柱体的下端面，,F的量值随入水深度Y变化的函数曲线如图所示，,该曲线可近似看作椭 圆的一部分，该椭圆的长、短轴分别与坐标轴OY和OF重合。.椭圆与Y轴相交于Y=h处,与F轴相交于5mg/2处。为了确保运动员的安全，试计算水池中水的深度h至少等于多少?(水的密度r=1.0103kg/m3)
9、 【答案】：见解析【解析】：设运动员整个下落过程重力做功，水的浮力做功，水的阻力做功，由动能定理得：，运动员从接触水面到全部进入水中，水的浮力随进入水中深度呈线性增加，全部进入水中后浮力不变。则浮力做功：水的阻力做功等于曲线与横截面积所围面积，由椭圆面积公式：可得：联立解得：，代入数据得：。例3如图所示，一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸长的轻绳，两端各系一个质量相等的小球A和B，球A刚好接触地面，球B被拉到与细杆同样高度的水平位置，当球B到细杆的距离为L时，绳刚好拉直在绳被拉直时释放球B，使球B从静止开始向下摆动求球A刚要离开地面时球B与其初始位置的高度差【答案】：见解析【解析】：设
10、球A刚要离开地面时连接球B的绳与其初始位置的夹角为，如图所示。这时球B的速度为，绳对球B的拉力为，根据牛顿运动定律和能量守恒定律，有：，当A球刚要离开地面时，有：以h表示所求的高度差，则有：联立解得：。例4.：如图所示，P是倾角为30的光滑固定斜面劲度为k的轻弹簧一端同定在斜面底端的固定挡板C上，另一端与质量为m的物块A相连接细绳的一端系在物体A上，细绳跨过不计质量和摩擦的定滑轮，另一端有一个不计质量的小挂钩小挂钩不挂任何物体时，物体A处于静止状态，细绳与斜面平行在小挂钩上轻轻挂上一个质量也为m的物块B后，物体A沿斜面向上运动斜面足够长，运动过程中B始终未接触地面(1) 求物块A刚开始运动时的
11、加速度大小a；(2) 设物块A沿斜面上升通过Q点位置时速度最大，求Q点到出发点的距离x0及最大速度vm；(3) 把物块B的质量变为Nm(N0.5)，小明同学认为，只要N足够大，就可以使物块A沿斜面上滑到Q点时的速度增大到2vm，你认为是否正确？如果正确，请说明理由，如果不正确，请求出A沿斜面上升到Q点位置时的速度的范围【答案】：见解析【解析】：分析受力，应用牛顿运动定律可得物块A刚开始运动时的加速度大小a；分析物理过程，应用机械能守恒定律，求出Q点到出发点的距离x0及最大速度vm。（1）设绳的拉力大小为F，刚开始运动时，弹簧对A的弹力与A的重力沿斜面向下分力平衡。对A由牛顿第二定律有：联立解得
12、：（2） A加速上升阶段，弹簧恢复原长前对A，应用牛顿第二定律有：对B，应用牛顿第二定律有：，二式消去F得：，上升过程x增大，a减小，v继续增大；当时，速度达到最大。可见Q点时速度最大，对应的弹力大小恰好是，弹性势能和初始状态相同，A上升到Q点过程，A、B的位移大小都是，该过程对A、B和弹簧系统应用机械能守恒定律有解得：（3） 不正确。由机械能守恒定律有：解得：而，只有当时，而N是不能取无穷大的，所以不正确。A沿斜面上升到Q点位置时的速度的范围为：0v2vm。【得分要诀】该题的得分要点是对物体受力和物理过程正确分析，明确弹簧形变相同时弹簧势能相同。正确列出各个过程对应的方程可以多得分，正确解答
13、可以得满分。例5如图所示，某传送带装置倾斜放置，倾角=37o，传送带AB长度x0=l0m。有一水平平台CD高度保持645m不变。现调整D端位置，当D、B的水平距离合适时，自D端水平抛出的物体恰好从B点沿BA方向冲上斜面，此后D端固定不动，g=l0m/s2。另外，传送带B端上方安装一极短的小平面，与传送带AB平行共面，保证自下而上传送的物体能沿AB方向由B点斜向上抛出。（sin37o=06，cos37o=08） （1）求D、B的水平距离；（2）若传送带以5m/s的速度逆时针匀速运行，某物体甲与传送带间动摩擦因数1=09，自A点沿传送带方向以某一初速度冲上传送带时，恰能水平落到水平台的D端，求物体
14、甲的最大初速度v01。（3）若传送带逆时针匀速运行，某物体乙与传送带间动摩擦因数2=0.6，自A点以v02=11m/s的初速度沿传送带方向冲上传送带时，恰能水平落到水平台的D端，求传送带的速度v。【答案】：见解析【解析】：对倾斜传送带传送物体，要分析得出物体所受摩擦力向上还是向下，正确应用动能定理列方程解答。（1） 设水平抛出的物体的初速度为，经时间落到传送带上时，竖直分速度为，竖直方向： （2分） （1分） （2分）水平方向距离： （1分）联立解得： （1分）（2） 由（1）中得 （1分）所以物体从传送带上斜上抛时，其速度则物体甲到B端的速度为，则恰能水平落到水平台的D端由动能定理得： （2
15、分）解得： （2分）（3） 若传送带对物体的摩擦力方向始终向下，设物体到B端速度，由动能定理得：分析可知无解，所以假设不成立若传送带对物体的摩擦力方向始终向上，设物体到B端速度，由动能定理得：解得：故只能是摩擦力方向先向下后向上。当摩擦力方向向下时，由牛顿第二定律得：mgsin+2mgcos = ma1（1分）解得： a1= 10.8m/s2。当摩擦力方向向上时，由牛顿第二定律得： mgsin2mgcos = ma2，（1分）解得： a2= 1.2m/s2。设传送带速度为v，则有： + = x0（2分）解得： v= m/s = 2m/s。（2分）【得分要诀】根据题述可知物体从D到B做平抛运动，
16、利用平抛运动规律可得出D、B之间的水平方向距离。若物体自A点沿传送带方向以某一初速度冲上传送带后一直减速，到达B点后斜抛，恰能水平落到水平台的D端，则物体甲的初速度最大，据此可应用动能定理列方程解得物体甲的最大初速度v01。第（3）问首先需要判断物体所受倾斜传送带的摩擦力方向，然后利用牛顿运动定律和相关知识列方程得出物体恰能水平落到水平台的D端时传送带的速度。此题过程较多，要将其过程分成几个小过程，分别列方程可多得分，正确解答可得满分。例6：传送带被广泛应用于各行各业。由于不同的物体与传送带之间的动摩擦因数不同，物体在传送带上的运动情况也有所不同。如图所示，一倾斜放置的传送带与水平面的倾角=3
17、70，在电动机的带动下以v=2m/s的速率顺时针方向匀速运行。M、N为传送带的两个端点，MN两点间的距离L=7m。N端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住。在传送带上的O处先后由静止释放金属块A和木块B，金属块与木块质量均为1kg，且均可视为质点，OM间距离L=3m。sin37 = 0.6，cos37=0.8，g取10m/s2。传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。 MqONP（1）金属块A由静止释放后沿传送带向上运动，经过2s到达M端，求金属块与传送带间的动摩擦因数1。 （2）木块B由静止释放后沿传送带向下运动，并与挡板P发生碰撞。已知碰撞时间极短，木块B与挡板P碰撞前后速度
18、大小不变，木块B与传送带间的动摩擦因数2=0.5。求： a.与挡板P第一次碰撞后，木块B所达到的最高位置与挡板P的距离； b.经过足够长时间，电动机的输出功率恒定，求此时电动机的输出功率。【答案】：见解析【解析】：（1）金属块A在传送带方向上受摩擦力和重力，先做匀加速运动，并设其速度能达到传送带的速度，然后做匀速运动到达M点。金属块由O运动到M点有：，即 1分且 即 1分 即 1分根据牛顿第二定律有： 1分由式解得：，符合题设要求，加速度 1分由式解得金属块与传送带间的动摩擦因数 1分 （2） a.由静止释放后，木块B沿传送带向下做匀加速运动，其加速度为，运动距离，第一次与P碰撞前的速度为 1
19、分 1分与挡板P第一次碰撞后，木块B以速度被反弹，先沿传送带向上以加速度做匀减速运动直到速度变为，此过程运动距离为；之后以加速度继续做匀减速运动直到速度为0，此时上升到最高点，此过程运动距离为s2。 1分 1分 1分 因此与挡板P第一次碰撞后，木块B所达到的最高位置与挡板P的距离 1分B.木块B上升到最高点后，沿传送带以加速度向下做匀加速运动，与挡板P发生第二次碰撞，碰撞前的速度为， 1分与挡板第二次碰撞后，木块B以速度被反弹，先沿传动带向上以加速度做匀减速运动直到速度为，此过程运动距离为；之后以加速继续做匀减速运动直到速度为0，此时上升到最高点，此过程运动距离为。 1分 1分木块B上升到最高
20、点后，沿传动带以加速度向下做匀加速运动，与挡板P发生第三次碰撞，碰撞前的速度为， 1分与挡板第三次碰撞后，木块B以速度被反弹，先沿传送带向上以加速度做匀减速运动直到速度为，此过程运动距离为；之后以加速度继续做匀减速运动直到速度为0，此时上升到最高点，此过程的运动距离为。 1分 1分以此类推，经过多次碰撞后木块B以2m/s被反弹，在距N点1m范围内不断以加速度a2做向上的减速运动和向下的加速运动。 木块B对传送带有一与传送带运动方向相反的阻力 1分故电动机的输出功率解得P=8W 1分【经典精练】1（2013北约自主招生）如图所示，与水平地面夹角为锐角的斜面底端 A 向上有三个等间距点 B、C和D
21、，即AB=BC=CD。小滑块 P 以初速 v0从 A 出发，沿斜面向上运动。先设置斜面与滑块间处处无摩擦，则滑块到达D位置刚好停下，而后下滑。若设置斜面 AB部分与滑块间有处处相同的摩擦，其余部位与滑块间仍无摩擦，则滑块上行到C位置刚好停下，而后下滑。滑块下滑到B位置时速度大小为_，回到 A 端时速度大小为_。 2：(2013年华约自主招生)已知质量约1T的汽车在10s内由静止加速到60km/h。（1）如果不计一切阻力，发动机的平均输出功率约为多大? （2）汽车速度较高时，空气阻力不能忽略。将汽车简化为横截面积约1m2的长方体，并以此模型估算汽 车以60km/h行驶时因克服空气阻力所增加的功率
22、。(知空气密度=1.3kg/m3。) （3）数据表明，上述汽车所受阻力与速度平方的关系如图所示。假定除空气阻力外，汽车行驶所受的其它阻力与速度无关，试估算汽车行驶所受的其它阻力总的大小。3（2013北约自主招生）某车辆在平直路面上作行驶测试，测试过程中速度 v(带有正负号)和时间 t 的关系如图所示。已知该过程发动机和车内制动装置对车辆所作总功为零，车辆与路面间的摩擦因数 为常量，试求 值。数值计算时，重力加速度取 g=10m/s2。 4：如图，固定在水平桌面上的两个光滑斜面、，其高度相同，斜面的总长度也相同。现有完全相同的两物块、同时由静止分别从、的顶端释放，假设在通过斜面转折处时始终沿斜面
23、运动且无能量损失。则A物块较物块先滑至斜面底端B两物块滑至斜面底端时速率相等C两物块下滑过程中的平均速率相同D两物块开始下滑时加速度大小相等5（2011北约）两个相同的铁球，质量均为m，由原长为L0、劲度系数为k的弹簧连接，设法维持弹簧在原长位置由静止释放两球（两球连线竖直）。设开始时下面铁球距离桌面的高度为h，而且下面铁球与桌面的碰撞为完全非弹性的碰撞。（1）求弹簧的最大压缩量x。（2）如果使铁球放在光滑水平面上绕过质心的竖直轴转动，此时弹簧长度变为L，求转动的角速度。6在光滑的水平桌面上有两个质量均为m的小球，由长度为2l的拉紧细线相连。以一恒力作用于细线中点，恒力的大小为F，方向平行于桌
24、面。两球开始运动时，细线与恒力方向垂直。在两球碰撞前瞬间，两球的速度在垂直于恒力方向的分量为 （ ）A B C D 7： 如图所示的皮带轮传动装置中，A为主动轮，B为被动轮，L为扁平的传动皮带，A轮与B轮的轮轴水平放置且互相平行，则能传递较大功率的情况是_。AA轮逆时针转且皮带L较宽BA轮逆时针转且皮带L较窄CA轮顺时针转且皮带L较宽DA轮顺时针转且皮带L较窄8：有长为L的绳上栓一质量为m的小球，假设小球在竖直面内做圆周运动，求小球运动到最高点与运动到最低点时绳的拉力之差。9：求地球场中月球势能与动能的绝对值之比。10：:固定在竖直平面内的一个半圆形光滑轨道，轨道半径为R，轨道两端在同一水平高
25、度上，其中一端有一小定滑轮（其大小可忽略），两小物体质量分别为m1和m2 ，用轻细绳跨过滑轮连接在一起，如图所示，若要求小物体 m1从光滑半圆轨道上端沿轨道由静止开始下滑，问（1）小物体 m1满足什么条件可以使它下滑到轨道最低点？ （2）小物体m1下滑到C点时速度为多大？联立解得：v1=2.11：质量为50kg的人在原地以固定周期连续地蹦跳，蹦跳时克服重力做功的功率为135W。每次蹦跳时与地面接触的时间占所用总时间的2/5。若此人的心动周期和蹦跳周期相同，心脏每搏一次输出60mL血液。若将9mg试剂注入他的静脉，经过一定长的时间后此人的血液中试剂浓度为2mg/L。求：（1）此人心脏每分钟跳动次
26、数。（2）此人血液通过心脏一次的时间。12：如图所示，甲、乙两个小球分别固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的水平固定转动轴，且OA=OB=L，系统平衡时，OA与竖直方向的夹角为37。（1）求甲、乙两个小球的质量之比。（2）若将直角尺顺时针缓慢转动到OA处于水平位置后由静止释放，求开始转动后B球可能达到的最大速度和可能达到的最高点。13：一根长为h的细线，上端固定于O点，下端悬挂一可视为质点的小球。现给小球一个水平初速度v0，大小为，如图所示。（1）小球转过多大角度开始不做圆周运动？（2）证明小球恰能击中最低点（初始点）。14 :两个质量均为m的小球，放在劲度系数为k，原长L的弹簧两端，由静止释放。设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上。小球半径rL。（1）问仅在两球之间万有引力的作用下，弹簧的最大压缩量x为多大？（2）若体系整体绕中心以角速度旋转，要求弹簧保持原长L，角速度应为多大？
