1、育才学校20212022学年度第一学期第一次月考高二理科试卷一选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知向量a(1,n,2)，b(2,1,2)，若2ab与b垂直，则|a|等于( )A B C D2.若向量a(x,4,5)，b(1，2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x等于()A 3 B 3 C 11 D 3或113.在如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，A1ABA1AC60，BAC90，A1A3，ABAC2，则线段AO的长度为( ) A B C D4.如图，三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABBC，ABBC2，SA2，则SC与AB所成角的大小为() A
2、30 B 45 C 60 D90 5.若A(3cos，3sin，1)，B(2cos，2sin，1)，则|的取值范围是()A 0,5 B 1,5 C (1,5) D (0,5)6.若点A(24,4，12)关于y轴的对称点是B(4，9,7)，则，的值依次为()A 1，4,9 B 2，5，8 C 3，5,8 D 2,5,87.如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，AFFD的比值为() A 3 B2 C1 D 8.已知直线l的方向向量为a(1,2,0)，平面的法向量为n(2,1，-1)，则()Al Bl Cl Dl或l9.已知平面的法向量是(2,
3、3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是()A B 6 C 6 D10.若某直线的斜率k(，则该直线的倾斜角的取值范围是()A B C D11.已知直线l1：ax(a2)y20与l2：xay10平行，则实数a的值为()A 1或2 B 0或2 C 2 D 112.如下图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为() A B C D二填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为
4、，则cos的最大值为_第14题图第13题图 14.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若BB1AB2，则点C到直线AB1的距离为_15.已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135，则点P的坐标为_16.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是_三解答题(共6小题,共70分) 17.（10分）已知ABC的三个顶点A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)求：(1)BC边上的中线AD所在的直线方程；(2)BC边的垂直平分线DE所在的直线方程18.（12分）已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5
5、)(1)若点D在直线AC上，且，求点D的坐标；(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积19.（12分）如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1. 求证：(1)BC1AB1； (2)BC1平面CA1D.20.（12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，(1)证明：平面AMN平面EFBD；(2)求平面AMN与平面EFBD间的距离21.（12分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长为2，D为CC1的中点(1)求证：AB1A1D；(2)求点C到平面A1BD的距离22.（
6、12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动(1)求证：D1EA1D；(2)在棱AB上是否存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为？若存在，求出AE的长，若不存在，说明理由答案解析1.【答案】B【解析】因为a(1，n,2)，b(2,1,2)，所以2ab(4,2n1,2)因为2ab与b垂直，所以(2ab)b0，所以82n140，解得n，所以a，所以|a|.2.【答案】A【解析】因为ab(x,4,5)(1，2,2)x810x2，且a与b的夹角的余弦值为，所以，且x2，解得x3或x11(舍去)3.【答案】A【解析】取空间中一组基底：a，b，c，四边形B
7、CC1B1是平行四边形，()，aacabc，A1ABA1AC60，BAC90，A1A3，ABAC2，a2b24，c29，ab0，acbc32cos 603，2(abc)2(a2b2c22ab2ac2bc).|，即AO.4.【答案】C【解析】因为SA底面ABC，所以SAAC，SAAB，所以0，又ABBC，ABBC2，所以 BAC45 ，AC2.因此cos 45224，所以4，又SA2，所以SC4 ，因此cos，所以SC与AB所成角的大小为60 .5.【答案】B【解析】|，1cos()1，1|5.6.【答案】B【解析】关于y轴对称的点的横坐标和竖坐标互为相反数，而纵坐标相等，点A(24,4，12)
8、关于y轴的对称点是B(4，9,7)，244，49,12(7)，的值依次为2，5，8，故选B.7.【答案】C【解析】以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为1，PAa，则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)设点F的坐标为(0，y，0)，则(1，y，0)，.因为BFPE，所以0，解得y，即点F的坐标为，所以F为AD的中点，所以AFFD11.8.【答案】D9.【答案】B【解析】，的法向量与的法向量也互相平行，6.10.【答案】C【解析】直线的斜率k(，ktan，该直线的倾斜角的取值范围是.故选C.11.【答案】D【解析】由
9、l1l2知，aa1(a2)，即a2a20，a2或a1.当a2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a1时，l1l2.a1.12.【答案】D【解析】如下图所示，连接AC，ACBDO，连接OF，以O为原点，OB、OC、OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设PAADAC1，则BD，所以B，F，C，D，结合图形可知，且为面BOF的一个法向量，由，可求得面BCF的一个法向量n(1，)，所以cosn，sinn，所以tann，.13.【答案】【解析】以A为原点，AB，AD，AQ分别为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系设正方形ABCD和ADPQ的边长为2，则E(1,0,0)，F(
10、2,1,0)，M(0，y,2)(0y2)，(2,1,0)，(1，y,2)，2y，|，|，cos，令t2y，则y2t且t0,2，cos，当t0时，cos0；当t0时 ，cos，由t0,2，cos，当且仅当t2，即点M与Q重合时，cos的最大值为.14.【答案】【解析】取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B1(，0,2)，C(0，1,0)，所以(，1,2)，(0，2,0)2，在上的投影向量的长度为，所以点C到直线AB1的距离d.15.【答案】(3,0)或(0,3)【解析】由题意知，kPA1，若点P在x轴上，设点P的坐标为P(m,0)(m1)，则1，解得m3，即P(3,
11、0)若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)，则1，解得n3，即P(0,3)综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3)16.【答案】1【解析】设A(m，0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m2，n6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)，则l的截距式方程是1.17.【答案】(1)ABC的三个顶点A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，BC边上的中点D(0,2)，BC边上的中线AD所在的直线方程为，整理得2x3y60.(2)kBC，BC边的垂直平分线DE所在的直线的斜率k2，BC边上的中点D(0,2)，BC边的垂直平分线DE所在的直线方程为y22x，整理得2xy20.18.
12、【答案】解(1)由题意知，(1，3,2)，点D在直线AC上，设(1，3,2)(，3，2)，D(，23，23)，(，23，32)(2,1,6)(2,13，23)，(1，3,2)(2,13，23)239461470，D.(2)(2,1，3)，(3，2，1)，|，|，231(2)(3)(1)7，cosBcos，sinB，S7，以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7.19.【答案】证明如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ACBCBB12，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(
13、0,0,0)，D(1,1,2)(1)由于(0，2，2)，(2,2，2)，因此0440，因此，故BC1AB1.(2)取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以(0,1,1)，又(0，2，2)，所以，又ED和BC1不共线，所以EDBC1，又DE平面CA1D，BC1 平面CA1D，故BC1平面CA1D.20.【答案】(1)证明如图所示，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)从而(2,2,0)，(2,2,0)，(2,0,4)，(2,0,4)，所以，所以EFMN，AMBF.因为EFBF
14、F，MNAMM，所以平面AMN平面EFBD，(2)解设n(x，y，z)是平面AMN的法向量，从而解得取z1，得n(2，2,1)，由于(0,4,0)，所以在n上的投影为，所以两平行平面间的距离d.21.【答案】(1)证明 如图，取BC中点O，连接AO，ABC为正三角形，AOBC，在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1，取B1C1的中点O1，以O为原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，(1,2，)，(1，1，)，1230，AB1A1D.
15、(2)解 设平面A1BD的法向量n(x，y，z)，(1，1，)，(2,1,0)，n，n，令x1，得n(1,2，)，C(1,0,0)，(2,0,0)，点C到平面A1BD的距离d.22.【答案】(1)证明AE平面AA1D1D，A1D平面AA1D1D，AEA1D.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，A1DAD1.AEAD1A，A1D平面AED1.D1E平面AED1，D1EA1D.(2)解以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设棱AB上存在点E(1，t,0)(0t2)，使得AD1与平面D1EC所成的角为，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，(1,0,1)，(0，2,1)，(1，t2,0)，设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，则取y1，得n(2t,1,2)，sin，整理，得t24t90，解得t2或t2(舍去)，在棱AB上存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为，此时AE2.
