1、14定积分与微积分基本定理14.1曲边梯形面积与定积分1.了解定积分的实际背景2.理解定积分的概念3.掌握定积分的求法1曲边梯形的概念曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形称为曲边梯形如图所示是一个曲边梯形2一般函数定积分的定义设函数yf(x)定义在区间a，b上(如右图)用分点ax0x1x2xn1xnb把区间a，b分为n个小区间，其长度依次为xixi1xi，i0，1，2，n1.记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点i，作和式Inf（i）xi.当0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f（x）在区间a，b上的定积分，记作f（x
2、）dx，即f(x)d x=f(i)xi，其中f(x)其中f（x）叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限，f（x）dx叫做被积式，此时称函数f（x）在区间a，b上可积.3.用定义求定积分的一般方法（1）分割：n等分区间a，b；（2）近似代替：取点ixi1，xi；（3）求和：Inf(i) (4)取极限：f(x)dxIn4定积分的几何意义如果函数f(x)在a，b上连续，且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积1当n很大时，函数f(x)x2在区间上的值，可以用下列哪个值近似代替()AfBfCf Df(0)答案：C2定积分cdx(
3、c为常数)的几何意义是_答案：表示由直线xa，xb(ab)，y0和yc所围成的矩形的面积3由ysinx，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式是_答案：sinxdx利用定积分定义求曲边梯形面积求曲线yx3与直线x1，y0所围成的区域的面积解(1)分割0，1：00)围成曲边梯形，将区间1，2进行100等分后第一个小区间上曲边梯形的面积是_解：将曲边梯形近似地看成矩形，其边长分别为f(1)1，故面积10.01.答案：0.012求由yx2，x1，x1，y0围成的图形的面积解：(1)分割：将0，1等分成n个小区间，第i个小区间可表示为(i1，2，n)，每个小区间距离为x.(2)近似代替：Sif
4、(i)xx.(3)作和：SSi (1222n2).(4)取极限：S .所以S.定积分的概念与几何意义利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积(1)y0，y，x2；(2)yx2，y2x.解(1)曲线所围成的区域如图1所示：设此面积为S，则S(0)dxdx.(2)曲线所围成的平面区域如图2所示：SA1A2.A1由y，y，x1围成；A2由y，yx2，x1和x4围成所以A1()dx，A2(x2)dx.所以S2dx(x2)dx.用定积分表示或计算平面区域的面积时，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状选择被积函数，再确定积分上、下限，当计算公式Sf(x)g(x)dx中的f(x)或g(
5、x)是分段函数时，面积要分块计算 利用定积分的几何意义求dx.解：如图，定积分dx表示由直线x2，x2，y0与曲线y所围成的图形的面积，计算可得面积为2，所以dx2.利用定积分的几何意义求定积分利用几何意义计算下列定积分：(1)dx；(2)(3x1)dx.解(1)在平面上y表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S32.所以由定积分的几何意义知dx.(2)由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形，如图所示：(3x1) dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，所以(3x1) dx(331)216. (1)利用几何意义求定积
6、分，关键是准确理解被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确性(2)一般地，如果图形的面积是直线段或圆弧围成时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要考虑函数的正负，是否具有对称性 由函数yx的图象，直线x1，x0，y0所围成的图形的面积可表示为()A(x) dxB|x|dxCxdx Dxdx解析：选B.由定积分的几何意义可知所求图形的面积为S|x|dx.1正确理解曲边梯形的概念是研究曲边梯形面积的关键，实际上，曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形2利用定积分的几何意义能够比较容易地求一些定积分的值1函数f(x)x2在区间上()
7、Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当n很大时，f(x)的值变化很小答案：D2曲线yx3与直线x1，y0所围成的区域的面积可表示为S_(用定积分表示)解析：画出示意图分析，知S(x30)dx.答案：x3dx3用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S_(2)S_(3)S_答案：(1)sinxdx(2)x2dx(3)xdx A基础达标1在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值等于()A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均正确解析：选C.由定义
8、可知C正确2下列结论中成立的个数是()x3dx；x3dx；x3dx.A0B1C2 D3解析：选C.由定积分的定义知正确3已知定积分f(x)dx8，且f(x)为偶函数，则f(x) dx()A0 B16C12 D8解析：选B.偶函数图象关于y轴对称，故f(x) dx2f(x) dx16.故选B.4设f(x)则f(x) dx的值是()A.x2dx B.2xdxC.x2dx2xdx D.2xdxx2dx解析：选D.求f(x)在区间1，1上的定积分，可以通过求f(x)在区间1，0与0，1上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.5定积分xdx与dx的大小关系是()A.xdxdxB.xdxdxC.xdxdx
9、D无法确定解析：选C.在同一坐标系中画出y与yx的图象如图由图可知，当x0，1时，y的图象在yx的图象上方由定积分的几何意义知，xdx0，则当ab时，定积分f(x)dx的符号()A一定是正的B一定是负的C当0ab时是正的，当ab0时是负的D以上结论都不对解析：选A.由定积分的性质可得答案12 (1sin x)dx_解析：函数y1sin x的图象如图所示由正弦型函数图象的对称性可知， (1sin x)dxS矩形ABCD2.答案：213已知f(x)求f(x)在区间0，5上的定积分解：如图画出函数f(x)的图象由定积分的几何意义得xdx222，(4x)dx(12)1，dx211.所以f(x)dxxdx(4x)dxdx21.14(选做题)利用定积分的几何意义求dx.解：令y1，则有(x1)2(y1)21(y1)，表示以(1，1)为圆心，1为半径的半圆，所求定积分表示由直线x0，x2，y1与曲线y1所围成的图形(即半圆阴影部分)的面积，易知为.即1dx.
