1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 选修2-3概率第二章1.1.1 集合的概念5 离散型随机变量的均值与方差第二章1.1.1 集合的概念知能自主梳理2学习方法指导3思路方法技巧4建模应用引路5探索延拓创新6易错辨误警示7课堂巩固训练8课后强化作业9知能目标解读1知能目标解读1理解离散型随机变量的均值的含义2理解离散型随机变量的方差的含义3利用离散型随机变量的均值和方差解决实际问题本节重点：离散型随机变量的均值与方差本节难点：准确确定随机变量的分布列，求均值与方差知能自主梳理x1p1x2p2xnpn平均水平2如果X是一个离散型随机变量，那么把_叫作随机变量X的方差，记为DX，D
2、X的算术平方根叫作随机变量X的_一个随机变量的方差与标准差都反映了该随机变量的取值_其中标准差与随机变量本身有_E(XEX)2标准差偏离于均值的平均程度相同的单位3若YaXb(a、b为常数)则EYE(aXb)_.4若X服从二项分布，即XB(n，p)，则EX_.5D(aXb)_.6若XB(n，p)则DX_aEXba2DXnpnp(1p)学习方法指导1研究均值与方差的意义随机变量的均值与方差都是随机变量的重要特征数(或数字特征)，是对随机变量的一种简明的描写虽然随机变量的分布列和分布函数完全决定了随机变量的取值规律，但是往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点，例如它取值的平均水平、集中位置、稳
3、定与波动状况、集中与离散程度等均值表示随机变量一切可能值的平均值或集中位置，而方差则表示随机变量一切可能值的集中与离散或稳定与波动的程度，由于离散型随机变量的均值的计算是从它的概率分布出发，因而均值是随机变量的概率平均值2求离散型随机变量的方差的一般步骤：(1)先求出随机变量的分布列；(2)再利用公式先求E；(3)最后利用方差公式求D.思路方法技巧有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下：其中X甲，X乙分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好？离散型随机变量的均值X甲110120125130135P0.10.
4、20.40.10.2X乙100115125130145P0.10.20.10.40.2分析要比较两种钢筋的质量，可先比较甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度，即期望值，然后再看看这两种钢筋质量的稳定性，即方差解析EX甲1100.11200.21250.41300.11350.2125.EX乙1000.11150.21250.41300.11450.2125.又DX甲(110125)20.1(120125)20.2(125125)20.4(130125)20.1(135125)20.250，DX乙 (100 125)20.1(115 125)20.2(125125)20.4(130125)20.1(14
5、5125)20.2165.由EX甲EX乙可知，甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度是相等的，且平均抗拉强度都不低于120.但由DX甲DX乙，即乙种钢筋的抗拉强度指标与平均值偏差较大，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋点评求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列(有时可以略)；(4)由均值的定义求EX.建模应用引路设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数(1)求X的分布列、期望值及方差；(2)求Y的分布列、期望值及方差分析本题考查离散型随机变
6、量的期望与方差X的取值应是0,1,2，第(2)问求Y分布列及期望，可充分利用X与Y的关系YX3来解同时注意本题的抽取是“不放回抽取”超几何分布的均值和方差某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E_(结果用最简分数表示)分析可以将“从7名学生中选出2名志愿者”看作“从7件产品中抽取2件产品”，将“选出的志愿者中女生的人数”看作“任取2件产品中的次品数”，则随机变量服从超几何分布二项分布的均值与方差(2014辽宁理，18)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视
7、为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)解析(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天是有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.探索延拓创新最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万
8、元钱进行投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票据分析预测：投资期望与方差的应用点评本题是一道背景很新的应用题，考查了期望与方差的实际应用(2014福建理，18)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个
9、球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元，所以先寻找期望为60的可能方案，对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能是60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面积之和最小值，所以期望也不可能是60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1，对 于 面 值 由 20元
10、和 40元 组 成 的 情 况，同 理 可 排 除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2易错辨误警示甲、乙两支排球队进行比赛，采用七局四胜制，即两队中有一队胜利四场，整个比赛结束，若甲、乙两个队获胜的概率相等，记比赛的场数为X，求X的数学期望课堂巩固训练答案D解析设？处为x，！处为y，则由分布列的性质得2xy1，期望E()1P(1)2P(2)3P(3)4x2y2.答案8.2解析本小题考查随机变量的均值公式E70.380.3590.2100.158.2.三、解答题6(2013天津理，16)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望课后强化作业（点此链接）
